ВсОШ 2024, 11 класс, задача 1
В пространстве расположен бесконечный цилиндр (т.е. геометрическое место точек, удалённых от данной прямой на данное расстояние ). Могут ли шесть прямых, содержащих рёбра некоторого тетраэдра, иметь ровно по одной общей точке с этим цилиндром? (А. Кузнецов)
Ответ
Ответ. Не могут.
Решение. Предположим, что такая конструкция существует. Спроецируем тетраэдр на плоскость , перпендикулярную прямой . Проекцией цилиндра будет некоторая окружность . Обозначим проекции вершин тетраэдра через , , , , они все будут различны (в противном случае одна из прямых, содержащих стороны тетраэдра, будет параллельна , такая прямая не может иметь с цилиндром ровно одну общую точку). Каждая из прямых, соединяющих точки , , , должна иметь с окружностью одну общую точку, то есть касаться этой окружности.
При этом точки , , , не могут лежать на одной прямой (поскольку вершины тетраэдра не лежат в одной плоскости). Значит, либо на одной прямой лежат какие-то три из них, не умаляя общности , , , либо никакие три из этих точек на одной прямой не лежат. В любом случае прямые , , попарно различны, однако они все касаются окружности и проходят через точку , противоречие.