ВсОШ 2023, муниципальный этап, 7 класс, задача 7
( баллов) На какое наибольшее количество групп можно разбить числа , , , , так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом? (Каждое число должно войти ровно в одну группу. Каждая группа должна состоять из одного или нескольких чисел.)
Ответ
Ответ: .
Решение. Заметим, что если в какой-то группе все числа чётные, то и сумма чисел в ней тоже чётная. Как известно, единственное простое чётное число — это . Значит, получить группу, состоящую только из чётных чисел, сумма которых является простым числом, можно единственным способом: взять в неё только число . В каждую из остальных групп придётся брать хотя бы одно нечётное число, поэтому таких групп не более . Итого получаем, что групп не более .
Теперь приведём пример разбиения на группу. Для всех от до , кроме и , возьмём в группу с номером два числа и , которые в сумме дают простое число .
В группу № возьмём только число .
В группу № возьмём числа и , их сумма равна простому числу .
В группу № возьмём только число , которое является простым.
Итого мы получили группу, сумма чисел в каждой из которых — простое число.