Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 9

В каждую клетку доски клеток поставили либо чёрную, либо белую шашку. Оказалось, что в любом «уголке» из клеток стоит хотя бы одна чёрная шашка. Какое наибольшее количество белых шашек может стоять на доске?

Ответ

Ответ. .

Решение. В любом клетчатом квадрате должно стоять не более белых шашек (иначе найдётся уголок без чёрных шашек). Разобьём доску на квадратов . В каждом квадрате стоит не более белых шашек. Значит, всего белых шашек не более .

Рассмотрим шахматную раскраску доски. Чёрные шашки можно поставить на чёрные клетки, а белые шашки — на белые клетки (их будет ровно ). Тогда в любом «уголке» из клеток будет чёрная шашка.

Похожие задачи

Физтех 2024, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 8

Клетки доски размером 21 × 13 раскрасили в чёрный и белый цвета так, что среди любых двух клеток, имеющих общую сторону, есть хотя бы одна чёрная. Какое наименьшее количество чёрных клеток может быть на доске?

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, первый тур, задача 7

На факультете учится 100 студентов. До зачёта каждые два студента встретились хотя бы на одной лекции по истории. При этом на каждой лекции по истории было не больше 50 студентов. Какое наименьшее число лекций по истории могло пройти до зачёта?

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2023, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 5

Длина круговой дорожки стадиона равна 400 метров. В разных местах дорожки стоят 13 спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более S метров. При каком наименьшем S они гарантированно мо

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2024, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 7

Из цифр 9, 7, 3, 1, 0 составили все возможные пятизначные числа без повторения цифр. Найдите среднее арифметическое всех полученных чисел, округлённое до ближайшего целого.

Сложная

Комбинаторика