СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 5

( баллов) Точка — середина стороны треугольника . На отрезке нашлась такая точка , что и перпендикулярны. Отрезки и пересекаются в точке . Оказалось, что . Докажите, что — середина отрезка .

Чертёж к задаче

Ответ

Решение. Поскольку и , то — высота и медиана в треугольнике . Следовательно, треугольник равнобедренный и .

На отрезке отметим точку так, чтобы . Треугольник получится равнобедренным с основанием . Также, по построению, . Отсюда получаем, что .

Поскольку и точка лежит на , то она — середина . Поэтому — средняя линия треугольника , тем самым, .

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 7

(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC. Точки P и Q на прямых AB и BC соответственно таковы, что AP=PM и CQ=QM. Найдите величину угла angle PQM, если angle BAC=17^circ. Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 9

(30 баллов) На стороне AC треугольника ABC как на диаметре построена окружность с центром O, пересекающая сторону BC этого треугольника в точке D. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC, если OD=4, DC=3, а центр описанной окружности треугольника ABC лежит на BO.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2023, отборочный этап, 10–11 классы, задача 7

(30 баллов) В остроугольном равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены высоты AD и CE, которые пересекаются в точке H. Описанная окружность треугольника ACH пересекает отрезок BC в точке F. Докажите, что angle ABH=angle BFH. Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2023, отборочный этап, 10–11 классы, задача 6

(30 баллов) Основания AB и CD трапеции ABCD равны 15 и 19 соответственно. AH и BG — высоты на прямую DC, CF — высота на прямую AB. Точки K, L, M, N — середины отрезков AB, CF, CD и AH соответственно. Найдите отношение площади трапеции ABCD к площади четырехугольника KLMN, если DG=17.

Средняя

Планиметрия