Очень сложная
Выражения и преобразования
Источник:
Олимпиада школьников «Физтех» по математике, Заключительный этап, 2025, 10 класс

Физтех 2025, 10 класс, задача 1

( баллов) Ненулевые числа , , удовлетворяют системе уравнений

Найдите все возможные значения выражения , если известно, что система имеет хотя бы одно решение в ненулевых числах.

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ.

Решение. Перемножая три уравнения системы и сокращая на ненулевое выражение получаем

откуда после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых имеем

Сложив три уравнения системы, получаем, что и, подставив
в предыдущее равенство, получаем, что откуда

Похожие задачи

Физтех 2024, 10 класс, задача 1

(3 баллов) Третий член арифметической прогрессии равен 3x+3, пятый член равен (x2+2x)2, а девятый равен 3x2. Найдите x.
Очень сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2025, 11 класс, задача 3

(5 баллов) а) Найдите все пары действительных чисел (x;y) такие, что (sinπ x+sinπ y)sinπ x=(cosπ x+cosπ y)cosπ x. б) Сколько пар целых чисел (x,y) удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству arcsin(x/5) +arccos(y/4) <(3π/2)?
Очень сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2020, 11 класс, задача 2

Решите уравнение cos 11x-cos 3x-sin 11x+sin 3x=√2cos 14x.
Очень сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2025, 11 класс, задача 6

(6 баллов) На координатной плоскости изображена фигура Φ(α), состоящая из всех точек, координаты (x; y) которых удовлетворяют системе неравенств Найдите максимальное значение M периметра (длины границы) фигуры Φ(α) и укажите все значения α, при которых оно достигается.
Очень сложная
Выражения и преобразования
Планиметрия