СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 8

( баллов) На продолжении стороны параллелограмма за точку отмечена точка , а на продолжении стороны за точку — точка . Оказалось, что . Отрезки и пересекаются в точке . Докажите, что — биссектриса угла .

Ответ

Чертёж к решению

Решение.

Поскольку , то треугольники и подобны по двум углам. Следовательно, . По условию . Отсюда получаем, что .

Заметим, что треугольники и подобны по двум углам, поэтому .

Таким образом, . Это равенство эквивалентно тому, что — биссектриса треугольника , то есть угла .

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 7

(30 баллов) На стороне AC треугольника ABC, в котором angle ACB=45^circ, отмечена точка K такая, что AK=2KC. На отрезке BK нашлась такая точка S, что ASperp BK и angle AKS=60^circ. Докажите, что AS=BS. Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 7

(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC. Точки P и Q на прямых AB и BC соответственно таковы, что AP=PM и CQ=QM. Найдите величину угла angle PQM, если angle BAC=17^circ. Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2023, отборочный этап, 10–11 классы, задача 6

(30 баллов) Основания AB и CD трапеции ABCD равны 15 и 19 соответственно. AH и BG — высоты на прямую DC, CF — высота на прямую AB. Точки K, L, M, N — середины отрезков AB, CF, CD и AH соответственно. Найдите отношение площади трапеции ABCD к площади четырехугольника KLMN, если DG=17.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2025, отборочный этап, 8–9 классы, задача 6

(30 баллов) В параллелограмме PQRS точка N — середина стороны RS. На стороне PS нашлась точка T такая, что angle PTN=angle QNT. Известно, что PT=5, а TS=3. Найдите длину отрезка QN. Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия