Всесиб 2022, 11 класс, задача 1
( баллов) Десятичная запись натурального числа содержит каждую цифру от до ровно один раз. Обозначим через сумму пяти двузначных чисел, составленных из первой и второй, третьей и четвёртой,..., девятой и десятой цифр , а через - сумму четырёх двузначных чисел, составленных из второй и третьей, четвёртой и пятой,..., восьмой и девятой цифр . Оказалось, что равно , может ли начинаться с чётной цифры?
Ответ
Ответ. Нет.
Решение. Пусть , где - некоторая перестановка чисел . Тогда
,
.
Если , то , откуда следует, что делится на .
Одна из двух различных цифр , ненулевая, поэтому и , то есть , и, следовательно, . Значит, .
Вспомним, что - некоторая перестановка чисел , поэтому сумма всех цифр равна - нечётна. Тогда , следовательно, цифра чётна, а цифра - нечётна.