Всесиб 2025, 11 класс, задача 4
( баллов) Найти все тройки натуральных чисел , , таких, что числа , , являются факториалами некоторых натуральных чисел. Числа в тройках могут совпадать. Напоминаем, что факториалом натурального числа называется произведение всех натуральных чисел от до включительно.
Ответ
Ответ. Все тройки натуральных чисел, два из которых равны , а третье равно для произвольного натурального .
Решение 1. Кроме случая, когда хотя бы два из чисел , , равны , все числа , , не меньше , и являются факториалами чисел, не меньших . Рассмотрим остатки от деления чисел , , от деления на . Заметим, что при остаток от деления числа на равен . Несложно убедиться, что для чисел вида такое возможно, только если остаток одного из чисел , равен , а другого . Следовательно, остатки от деления , , на могут равняться только или и среди них есть равные, остаток от деления произведения которых плюс равен , а не , как требуется. Значит, среди чисел , , хотя бы два равны , а третье может быть любым вида для некоторого натурального и тогда числа , , равны , , .
Решение 2. Можно считать, что числа упорядочены по возрастанию: , тогда и . В таком случае делит и , а делит . Тогда делит . Ввиду взаимной простоты и , отсюда следует, что делит . Аналогично, делит , и, ввиду взаимной простоты и , отсюда следует, что делит . Тогда делит . Последнее возможно только в случае , то есть . Подставим полученное соотношение в равенство . Если , то делится на , поэтому остаток от деления на должен быть равен , что невозможно. Следовательно, , и , а может быть любым вида для некоторого натурального .