Физтех 2022, 9 класс, задача 4

( баллов) Окружность с центром касается прямых и в точках и соответственно. Высота треугольника пересекает эту окружность в точках и . Найдите отношение , если площадь треугольника равна , а радиус окружности равен .

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть отрезки и пересекаются в точке . Так как треугольник равнобедренный, а является биссектрисой угла , то биссектриса треугольника является также его медианой и высотой. Пусть . Поскольку , то .

Отметим, что этот угол вписан в окружность и опирается на дугу , поэтому . По теореме об угле между касательной и секущей

Кроме того,

Далее имеем:

Так как по условию площадь треугольника равна , отсюда получаем , и искомое отношение равно .

Похожие задачи

Физтех 2023, 9 класс, задача 7

(6 баллов) Вписанная окружность ω прямоугольного треугольника ABC с прямым углом B касается его сторон CA, AB, BC в точках D, E, F соответственно. Луч ED пересекает прямую, перпендикулярную BC, проходящую через вершину C, в точке Y; X - вторая точка пересечения прямой FY с окружностью ω. Известно, ч

Сложная

Планиметрия

Физтех 2022, 10 класс, задача 5

(5 баллов) Окружности Ω и ω касаются в точке A внутренним образом. Отрезок AB - диаметр большей окружности Ω, а хорда BC окружности Ω касается ω в точке D. Луч AD повторно пересекает Ω в точке E. Найдите радиусы окружностей и площадь четырёхугольника BACE, если известно, что CD=1, BD=3.

Сложная

Планиметрия

Физтех 2025, 9 класс, задача 4

(5 баллов) На координатной плоскости рассматриваются ромбы с длиной стороны 5 такие, что абсциссы и ординаты всех четырёх вершин каждого ромба — целые числа из промежутка [1;50]. Сколько существует таких ромбов? Напомним, что квадрат также является ромбом.

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика

Физтех 2022, 11 класс, задача 7

(6 баллов) Дана пирамида ABCD, вершина A которой лежит на одной сфере с серединами всех её рёбер, кроме ребра AD. Известно, что AB=1, BD=2, CD=3. Найдите длину ребра BC. Какой наименьший радиус может иметь сфера, описанная около данной пирамиды?

Сложная

Планиметрия