Высшая проба 2026, 8 класс, задача 1
( баллов) В игре «Тактика онлайн» за каждую победу игроку начисляют очков, за ничью - очков, а за каждое поражение снимают очков. За какое наименьшее количество игр Вася мог набрать очка?
Ответ
Ответ. За игр.
Решение. Оценка. Обозначим за число игр, а за , , - количество побед, ничьих и поражений, соответственно (). Тогда . Так как , равенство можно переписать как - правая часть показывает потери относительно случая, когда все игры являются победами. Сразу видно, что , так как при Вася набрал бы не более очков. Теперь запишем следствия из этого равенства:
) Количество ничьих не равно нулю, так как разность делится на , а - не делится.
) Количество побед должно делиться на , так как всегда делится на , а - не делится.
) В случае отсутствия побед .
) В случае отсутствия поражений число дает остаток при делении на , т.е. само дает остаток при делении на . С учетом того, что , это возможно только при .
) Пусть присутствовали и победы, и поражения, и ничьи. Тогда , откуда . Проверим случай . Из пункта ) мы знаем, что количество побед кратно , поэтому их могло быть или . В случае побед нельзя набрать больше очков, поэтому этот случай невозможен. Если же было побед, то возможен только вариант с одной ничьей и одним поражением, а тогда число набранных очков равно . Таким образом, в случае наличия всех трех исходов ровно игр быть не могло, и в этом случае .
Видно, что во всех случаях количество игр не могло быть меньше .
Пример. Покажем, что ровно игр быть могло. Пусть было побед, одна ничья и два поражения. Тогда количество набранных очков равно , как и требовалось