Высшая проба 2022, 9-10 классы, задача 1
( баллов) В этой задаче запись , где - целое, а - натуральное, обозначает такое целое число от до , что делится на . Существует ли такая функция , определенная для целых значений аргумента и принимающая целые значения, что при любом целом верно ?
Ответ
Ответ. Нет.
Решение. Стандартным ходом при решении задач на функциональные уравнения является подставить какое-то значение переменной, при котором два часто возникающих и не равных друг другу тождественно выражения оказываются равны, и посмотреть, какие следствия из этого удастся вывести. Применительно к данной задаче на роль такой подстановки просится значение , для которого выполнялось бы .
Задумаемся, а существует ли такое ? Условие равносильно квадратному уравнению в остатках: (в этом абзаце все сравнимости по модулю ), эквивалентно . Или можно было просто перебором остатков, благо их всего , убедиться, что любой из и подходят.
Что же нам дает равенство ? Просится от обоих частей взять функцию , а затем воспользоваться условием задачи. Имеем: . Чтобы подчеркнуть полученное, обозначим и выбросим среднюю часть: . Отсюда следует (в этом абзаце все сравнимости по модулю ), отметим, что это именно следствие, а не равносильность. Выясним, имеет ли сравнимость решения, действуя стандартно: . А извлекается ли квадратный корень из по модулю ? Заметим, что , , , и . Мы перебрали все остатки, среди квадратов не нашлось , значит корень не извлекается, значит уравнение не имеет решений.
Итак, требуемой функции не существует