Высшая проба 2023, 11 класс, задача 2
( баллов) Различные действительные числа , , таковы, что среди трёх чисел
какие-то два равны. Верно ли, что все эти три числа равны?
Ответ
Ответ: да.
Решение. В данных выражениях умножим числители и знаменатели на , , соответственно (согласно условию, эти разности ненулевые). Получим те же числа в другом виде:
Без ограничения общности будем считать, что первое и третье числа равны. Тогда
Это симметричное равенство, поэтому теперь можно просто поменять местами две переменные (например, и ) и проделать те же переходы в обратном порядке, получив равенство третьего и второго чисел:
(Деления при этом корректны, так как выражения-делители уже фигурировали ранее в знаменателях, и мы знаем, что они не равны нулю.)
Замечание. Равенство эквивалентно . Отсюда легко понять, в частности, что такие , , существуют - подойдёт любая тройка различных чисел, для которых , например , , .
Другое решение. Без ограничения общности предположим, что первые два выражения равны . Имеем
Вычитая эти равенства, получаем
(Последний переход корректен, так как по условию .)
Мы получили симметричный относительно , , вывод. Теперь можно проделать переходы в обратном порядке, чтобы установить, что и третье из данных выражений тоже равно :
Складывая с уже известным , получаем
(Последний переход корректен, так как выражение, на которое мы делим, уже фигурирует в знаменателе в условии задачи