Очень сложная
Алгебра
Стереометрия
Источник:
Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2020, 9–10 классы

Высшая проба 2020, 9-10 классы, задача 4

( баллов) Существует ли прямоугольный параллелепипед, у которого длины всех ребер иррациональны, а объем, полная поверхность и большая диагональ - числа целые? (Прямоугольный параллелепипед - это фигура в пространстве, задаваемая неравенствами , , , где , , - фиксированные числа. Большая диагональ - это максимальное расстояние между вершинами параллелепипеда.)

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ Да, существует.

Доказательство. Нам нужно найти такие иррациональные , , , что , , - полный квадрат. Например, нам подойдут корни многочлена . Легко видеть, что у него положительных корня (достаточно посмотреть на значения в , , , ), что у него нет рациональных корней (их числитель и знаменатель будут обязаны делить единицу, то есть быть равными ). При этом произведение корней равно , сумма попарных произведений равна , , значит большая диагональ равна .

Похожие задачи

Высшая проба 2020, 11 класс, задача 1

(20 баллов) На доске написана система из 12 различных уравнений с 6 неизвестными x1,x2,x3,x4,x5,x6. Каждое уравнение имеет вид xi+xj+xk=0, где ine jne k (сумма трех различных неизвестных равна нулю). М
Очень сложная
Алгебра
Функции

Высшая проба 2024, 11 класс, задача 6

(20 баллов) Сфера касается всех рёбер пирамиды, в основании которой лежит выпуклый 2024-угольник. Покрасим в шахматном порядке углы между последовательными рёбрами при вершине вне многоугольника в синий и красный цвета. Докажите, что произведение синусов половинок синих углов равно произведению сину
Очень сложная
Стереометрия

Высшая проба 2020, 11 класс, задача 6

(20 баллов) В правильном тетраэдре с ребром, равным 8, отмечены 25 различных точек: 4 вершины и 21 произвольная точка внутри тетраэдра. Никакие 4 отмеченные точки не лежат в одной плоскости. Докажите, что найдется тетраэдр с вершинами в отмеченных точках, объем которого меньше единицы.
Очень сложная
Стереометрия
Комбинаторика

Высшая проба 2020, 11 класс, задача 3

(20 баллов) Найдите все вещественные c, при которых сумма девятых степеней корней уравнения x2-x+c=0 равна нулю, и сумма пятнадцатых степеней тоже равна нулю. Замечание: корни могут быть комплексными.
Очень сложная
Алгебра