Физтех 2023, 9 класс, задача 2

( баллов) Известно, что дробь несократима (, ). На доске записана дробь . При каком наибольшем могло оказаться, что дробь сократима на ?

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть . Так как

т. е.

из этого равенства следует, что делится нацело на . Аналогично доказывается, что делится нацело на .

Поэтому

так как числа и взаимно просты и .

Докажем, что значение может достигаться. Для этого достаточно взять , - при этом дробь равна

Похожие задачи

Физтех 2025, 9 класс, задача 2

(3 баллов) Из суммы квадратов пяти последовательных натуральных чисел вычли число 10 и получили куб натурального числа N большего 6. Найдите наименьшее возможное значение N.

Сложная

Теория чисел

Физтех 2022, 10 класс, задача 2

(4 баллов) Найдите количество треугольников периметра 1200 с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.

Сложная

Теория чисел

Планиметрия

Комбинаторика

Физтех 2020, 10 класс, задача 5

(5 баллов) По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке (0;0). Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В на

Сложная

Теория чисел

Планиметрия

Физтех 2023, 9 класс, задача 1

(4 баллов) Натуральные числа a, b, c таковы, что ab делится на 3¹¹7¹¹, bc делится на 3¹⁸7¹⁶, ac делится на 3²¹7³⁸. Найдите наименьшее возможное значение произведения abc.

Сложная

Теория чисел