Очень сложная
Выражения и преобразования
Источник:
Олимпиада школьников «Физтех» по математике, Заключительный этап, 2024, 11 класс

Физтех 2024, 11 класс, задача 3

( баллов) Найдите все значения параметра , при которых уравнение

имеет хотя бы одно решение. Решите это уравнение при всех таких .

Фото или PDF, до 20 МБ на файл, до 10 файлов. Ответ проверят вручную.
Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. Решения есть при . Они задаются формулой , .

Решение. Применяя формулы , и обозначая , приводим уравнение к виду

Выделяя в левой части полный куб, получаем . Так как равенство кубов эквивалентно равенству самих чисел, это уравнение равносильно следующему:

Ввиду ограниченности косинуса, отсюда получаем неравенство

то есть или .

При этих значениях уравнение имеет решения

Похожие задачи

Физтех 2025, 10 класс, задача 1

(4 баллов) Ненулевые числа x, y, z удовлетворяют системе уравнений Найдите все возможные значения выражения (x+3)2+(y+3)2+(z+3)2, если известно, что система имеет хотя бы одно решение в ненулевых числах.
Очень сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2024, 11 класс, задача 1

(3 баллов) Найдите все действительные значения x, при каждом из которых существует геометрическая прогрессия, состоящая из действительных чисел и такая, что её седьмой член равен √((25x-9)(x-6)), девятый член равен x+3, а пятнадцатый член равен √(dfrac{25x-9){(x-6)3}}.
Очень сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2025, 11 класс, задача 3

(5 баллов) а) Найдите все пары действительных чисел (x;y) такие, что (sinπ x+sinπ y)sinπ x=(cosπ x+cosπ y)cosπ x. б) Сколько пар целых чисел (x,y) удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству arcsin(x/5) +arccos(y/4) <(3π/2)?
Очень сложная
Выражения и преобразования

Физтех 2024, 10 класс, задача 2

(4 баллов) Найдите наибольшее значение выражения 4y+8x при условии
Очень сложная
Выражения и преобразования