Очень сложная
Выражения и преобразования
Источник:
Высшая проба по математике, Заключительный этап, 2021, 10 класс

Высшая проба 2021, 10 класс, задача 2

( баллов) Число случайным образом выбирается на отрезке (вероятность того, что попадет в заданный интервал на отрезке , пропорциональна длине этого интервала). Далее строится последовательность , такая, что

Какова вероятность того, что ?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Решение

Ответ: . Будем доказывать индукцией по следующие два утверждения.

. Вероятность того, что , равна .
. Вероятность того, что попадет в заданный интервал на отрезке , пропорциональна его длине.

База индукции следует из условия задачи. Пусть и выполнены для . По условию , где определяется по формуле .

Заметим, что прообраз отрезка при отображении есть объединение отрезков и . Таким образом, вероятность того, что , равна вероятности того, что . Суммарная длина отрезков и составляет от длины отрезка . Поэтому из утверждений и для следует, что искомая вероятность равна

Утверждение для доказано. Теперь заметим, что функции и являются линейными, и их образы совпадают с отрезком . Таким образом, утверждение для следует из аналогичного утверждения для . Переход индукции доказан.

1

A0 Утверждение (2) сформулировано, но не доказано.

15
2

A1 Утверждение (2) используется, но явно не формулируется (и не доказывается).

11
3

A2 Незначительные ошибки, не влияющие на ход решения.

17
4

А3 Доказательство того, что если точка попала в промежуток (;), то дальше точки в нужный отрезок не попадают.

2
5

A4 Без основания утверждается, чтодолжно лежать в-й итерации множества Кантора: —/+.

6
Максимум: 17

Похожие задачи

Высшая проба 2022, 9-10 классы, задача 1

(13 баллов) В этой задаче запись x bmod n, где x - целое, а n - натуральное, обозначает такое целое число y от 0 до n-1, что x-y делится на n. Существует ли такая функция f, определенная для целых значений аргумента и принимающая целые значения, что при любом целом x верно f((x2+1) bmod 7
Очень сложная
Выражения и преобразования

Высшая проба 2022, 9-10 классы, задача 4

(28 баллов) Напомним, что запись числа n в t-ичной системе счисления - это представление n=overline{akak-1ldots a0}=aktk+ak-1tk-1+ · s+a0, где ai - целые числа от 0 до t-1, причем ak - не но
Очень сложная
Выражения и преобразования

Высшая проба 2021, 11 класс, задача 2

(20 баллов) В последовательности чисел 20;21;22;ldots некоторые члены умножили на -1, причем известно, что осталось бесконечно много положительных членов. Докажите, что любое натуральное число представимо в виде суммы нескольких различных членов полученной последоват
Очень сложная
Выражения и преобразования

Высшая проба 2022, 11 класс, задача 4

(32 баллов) Найдите все действительные числа d, для которых существуют многочлены от одной переменной P и Q, такие что равенство (P(x)/Q(x)) -(P(x+d)/Q(x+d)) =frac1{x(x+1)} выполняется при всех значениях x кроме конечного числа.
Очень сложная
Выражения и преобразования