Высшая проба 2023, 7 класс, задача 3
( баллов) На складе стоят несколько ящиков. Известно, что ящиков не более ,
и в каждом из них находятся либо яблок, либо апельсинов. После того, как на склад принесли
коробку с некоторым количеством апельсинов, фруктов на складе стало поровну. Какое наименьшее количество апельсинов могло быть в принесённой коробке?
Ответ
Ответ: .
Решение. Обозначим количество ящиков с апельсинами через , количество ящиков с яблоками — через , а количество апельсинов в принесённом ящике — через . По условию . Перенеся влево, получим . Отсюда следует, что — натуральное число, кратное , поэтому оно не меньше . Также, поскольку обе части равенства положительны, получаем . Если , то и , что противоречит условию . Значит, . Осталось заметить, что при , и условие задачи выполняется, то есть в принесённой коробке могло быть ровно апельсинов.
Другое решение. Рассмотрим ситуацию с наименьшим возможным количеством апельсинов в коробке. Заметим, что ящиков с яблоками должно быть больше, чем ящиков с апельсинами (иначе в ящиках яблок уже меньше, чем апельсинов, и принесенная коробка с апельсинами не сможет уравнять количество фруктов). Обозначим количество ящиков с апельсинами через ; тогда , иначе общее количество ящиков превысит .
Докажем, что ящиков с яблоками ровно на больше, чем ящиков с апельсинами. Действительно, в ином случае ящиков с яблоками не менее . Получается, яблок в ящиках больше, чем апельсинов, хотя бы на . Так как , то эта разность не меньше . Но тогда один ящик с яблоками можно убрать, а количество апельсинов в принесенной коробке уменьшить на . Значит, рассматриваемый случай не дает минимального количества апельсинов в коробке, противоречие. Тогда разность между количествами яблок и апельсинов в ящиках равна . Она уменьшается с увеличением , то есть наименьшее значение разности достигается при наибольшем значении . Отсюда ясно, что эта разность (равная количеству апельсинов в коробке) достигает наименьшего значения, равного , при наибольшем значении (всего ящиков тогда ровно