Высшая проба 2021, 8 класс, задача 3

( баллов) В ряд расставлены натуральных чисел так, что среди любых шести чисел, идущих подряд, первое число нацело делится на последнее, и среди любых девяти чисел, идущих подряд, последнее число нацело делится на первое. Докажите, что сумма первых ста чисел нацело делится на сумму последних ста чисел.

Ответ

Решение:

Вместо "а делится на " достаточно , то есть , .

В самом деле,

То есть для любой части последовательности из элементов все числа равны.

Правильное решение:Доказывается,что например,используется,говорится что аналогичнодля всех(Но не работает для)−не больше Решена задача с другими числами в условии−.

Максимум: 15

Похожие задачи

Высшая проба 2024, 10 класс, задача 1

(15 баллов) Можно ли число 2024 представить в виде a³ + b², где a и b — натуральные числа?

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2021, 8 класс, задача 1

(15 баллов) Вася прибавил к числителю и знаменателю правильной дроби одно и то же натуральное число, меньшее, как числителя, так и знаменателя. В результате дробь увеличилась более, чем на 50%. Вася утверждает, что, если он отнимет это число от числителя и знаменателя исходной дроби, то дробь уменьш

Сложная

Теория чисел

Высшая проба 2025, 9 и 10 классы

(15 баллов) Даны многочлены P(x) и Q(x), оба степени n со старшими коэффициентами 1. У каждого из них ровно n различных целых корней. Известно, что все корни многочлена P(x) чётны, а все корни многочлена Q(x) нечётны. Докажите, что у многочлена P(x) + Q(x) не может быть целых корней.

Сложная

Алгебра

Теория чисел

Высшая проба 2026, 9 класс, задача 4

(17 баллов) В цирке работают 10 силачей, у которых есть 10 разных гирь. Каждый силач может поднять любую гирю не тяжелее определённого веса (и для каждого силача этот вес свой). Для номера нужно каждому силачу выдать по гире, которую он сможет поднять. Могло ли оказаться так, что есть ровно 6048 спо

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика