ВсОШ 2022, 9 класс, задача 5
( баллов) Дана бесконечная последовательность чисел , в которой нет двух равных членов. Отрезок этой последовательности назовём монотонным отрезком длины , если выполнены неравенства или неравенства . Оказалось, что для каждого натурального член содержится в некотором монотонном отрезке длины . Докажите, что существует натуральное такое, что последовательность монотонна, т. е. или . (А.С. Голованов)
Ответ
Первое решение. Будем называть индекс плохим, если или . Заметим, что если среди индексов нет плохих, то последовательность монотонна.
Предположим, что утверждение задачи неверно. Тогда найдётся бесконечно много плохих индексов. Выберем некоторый плохой индекс . Возьмём произвольное и рассмотрим монотонный отрезок длины , содержащий . Он не может содержать членов , и одновременно; следовательно, поскольку , отрезок точно не содержит , а следовательно, не содержит и .
Итак, монотонный отрезок длины содержит , но не содержит ; тогда он обязан содержать и , так что индекс не является плохим. Итак, при любом индекс не плохой, поэтому плохих индексов конечное количество. Противоречие.
Второе решение. Предположим противное. Не умаляя общности, можно считать, что (иначе можно умножить все члены последовательности на ). Поскольку последовательность не является возрастающей, существует такое , что . Поскольку последовательность не является убывающей, существует такое , что . Выберем наименьшее , удовлетворяющее этим двум неравенствам. Тогда либо , и тогда согласно выбору , либо , и тогда . Итак, в любом случае .
Рассмотрим монотонный отрезок длины , содержащий ; он обязан содержать и . Поскольку , числа этого отрезка монотонно убывают. Значит, он не может содержать числа (иначе бы он содержал и ). Но тогда, раз длина отрезка равна , он обязан содержать и , что невозможно.