ВсОШ 2022, 10 класс, задача 2
( баллов) На стороне остроугольного треугольника отмечены точки и так, что . На дуге описанной окружности треугольника , не содержащей точку , нашлись такие точки и , что и . Докажите, что . (А. Кузнецов)
Ответ
Первое решение.
Без ограничения общности будем считать, что точка лежит на отрезке и . Пусть — центр окружности . Пусть точка симметрична относительно серединного 
перпендикуляра к отрезку (см. рис. ). Из симметрии . Окружность с центром и радиусом пересекает окружность в точках, симметричных относительно прямой , то есть точки и симметричны относительно . Аналогично, точки и симметричны относительно прямой . Прямые и симметричны относительно серединного перпендикуляра к отрезку , поэтому они образуют равные углы с прямой . Поскольку , и , то прямые и образуют равные углы с прямой . Значит, меньшие дуги окружности , стягиваемые хордами и , равны, а тогда , что и требовалось.
Второе решение.
Без ограничения общности будем считать, что точка лежит на отрезке . Пусть — центр окружности . Заметим, что . Поскольку , то точки и лежат по одну сторону от прямой (см. рис. ). Треугольники и равны по трём сторонам, треугольники и — тоже. Тогда . (Если луч не лежит внутри угла , то луч лежит внутри угла , а значит и внутри угла . В этом случае либо , либо ; в обоих случаях получаем противоречие с равенством треугольников и . Аналогично, луч лежит внутри угла .) Поэтому треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, откуда .