ВсОШ 2025, 10 класс, задача 2
Внутри треугольника отмечена точка . На отрезке отмечена точка , а на отрезке — точка так, что описанные окружности треугольников и касаются прямой . Через точки и провели прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника , а через точки и — прямые, проходящие через центр описанной окружности . Докажите, что существует окружность, которая касается четырёх проведённых прямых.
Ответ
Решение. Поскольку , четырёхугольник — вписанный. Пусть — центр окружности . Обозначим через и центры окружностей и . Покажем, что прямые , , , равноудалены от . Так как , для этого достаточно установить равенство (направленных) углов
Здесь первое и последнее равенства очевидны из симметрии относительно серединных перпендикуляров к и .
Остаётся доказать равенство . Из счёта углов получаем
Аналогично . Значит, эквивалентно равенству
или
Из касания окружностей и следует , что равно (из суммы углов четырёхугольника ) . Тем самым, преобразуется к виду , что верно. Задача решена.