ВсОШ 2019, 11 класс, задача 4
Дана треугольная пирамида . Сфера касается грани , а также плоскостей остальных граней вне самих граней. Аналогично, сфера касается грани , а также плоскостей остальных граней вне самих граней. Пусть - точка касания сферы с плоскостью , а - точка касания сферы с плоскостью . На продолжениях отрезков и за точки и выбраны точки и соответственно так, что и . Докажите, что точки и равноудалены от середины отрезка .
(Ф. Бахарев)
Ответ
Решение.
Отметим точки и касания вписанной сферы тетраэдра с гранями и соответственно, а также точки и касания сфер и с этими гранями. Сферы и гомотетичны с центром в точке , поэтому точка лежит на отрезке . Аналогично, точка лежит на отрезке . Покажем, что точки и изогонально сопряжены относительно треугольника , то есть и . Докажем первое из этих равенств; остальные два доказываются аналогично. Обозначим через и точки касания плоскости со сферами и соответственно (см. рис. 5). Из равенства отрезков касательных, проведённых из одной точки к сфере, следует, что следующие пары треугольников равны по трём сторонам: . Значит, , откуда следует требуемое равенство 
Используя условие задачи и доказанную изогональную сопряженность точек и , получаем, что . Следовательно,
четырёхугольник вписанный. Аналогично устанавливается вписанность четырёхугольника . Обозначим через точку касания сферы и грани . Из равенства треугольников и равенства аналогичных пар треугольников, примыкающих к пяти остальным рёбрам тетраэдра , получаем (см. рис. 6), что . Так как точки и лежат на отрезках и соответственно, отсюда следует, что
Повернём плоскость вокруг прямой так, чтобы она совместилась с плоскостью и при этом треугольник совместился с равным ему треугольником . При этом повороте окружность, описанная около четырёхугольника , перейдет в окружность , описанную около четырёхугольника . В частности, точка перейдет в некоторую точку на окружности . Из равенства
углов следует, что точки и симметричны относительно диаметра окружности , перпендикулярного хорде . Следовательно, точки и , а значит, и точки и равноудалены от середины отрезка .