(7 баллов) Даны 6 последовательных натуральных чисел. Докажите, что их можно обозначить (в некотором порядке) a, b, c, d, e, f так, чтобы число dfrac{a}{b+c}+dfrac{d}{e+f} было натуральным. (7 баллов) Две равные окружности ω1 и ω2 проходят через точку A. На окружности ω1 отмечена точка B так, что прямая AB касается окружности ω2. На окружности ω2 отмечена точка C так, что прямая AC касается окружности ω1. Прямая, проходя (7 баллов) Петя и Вася играют в игру. В начале игры на столе лежат 1000 куч, состоящих из 1, 2, 3, 4, ldots, 999, 1000 спичек соответственно. Ребята ходят по очереди, начинает Петя. Каждый из мальчиков своим ходом может взять любое ненулевое количество спичек из кучи с наибольшим количеством спичек (7 баллов) Две бесконечные последовательности a1,a2,ldots и b1,b2,ldots натуральных чисел таковы, что при любых различных натуральных m и k число am-bk делится на m-k. Обязательно ли an=bn при всех натуральных n? (7 баллов) Некоторые рёбра выпуклого многогранника удалось покрасить в красный цвет так, что в каждую вершину входит ровно два красных ребра, причём эти рёбра лежат в одной грани. Кроме того, в каждой грани оказалось не более двух красных рёбер. Сколько вершин может быть в таком многограннике? (7 баллов) Существуют ли такие составные натуральные числа m>n>1, что у чисел m, n, m+n и m-n наибольший делитель, отличный от самого числа, одинаковый? (7 баллов) По кругу расставили 2026 попарно различных иррациональных чисел и для каждой пары стоящих рядом чисел a и b вычислили значение выражения dfrac{ab}{a-b}. Может ли ровно одно из 2026 полученных значений быть иррациональным? (7 баллов) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Биссектрисы его углов A и C пересекаются в точке E, а биссектрисы углов B и D — в точке F, причём точки O, E и F лежат внутри четырёхугольника. Описанные окружности треугольников ACE и BDF пересекаются в точках P и Q. Докажите, (7 баллов) Даны натуральные числа n>k>2. В клетчатом квадрате n × n закрашено несколько клеток. В каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы одна закрашенная клетка, причём в каждом ряду (строке или столбце) закрашенные клетки идут подряд. Известно, что нет целиком закрашенного квадрата k × k. Ка (7 баллов) Пусть a, b, c — положительные числа, причём a+b+c=3. Докажите, что (a/b4+2b) +(b/c4+2c) +(c/a4+2a) ge 1. 
