(4 баллов) Для натурального числа a произведение 1 · 2 · 3 · ldots · a обозначается как a!. (а) (2 балла) Найдите наименьшее натуральное число m такое, что m! делится на 23m. (б) (2 балла) Найдите наименьшее натуральное число n такое, что n! делится на 33n. (4 баллов) В четырёх классах школы учится более 70 детей, все они пришли на собрание параллели (других детей на собрании не было). Каждую пришедшую девочку спросили: «Сколько пришло человек из твоего класса, включая тебя?» Каждого пришедшего мальчика спросили: «Сколько пришло мальчиков из твоего кла (4 баллов) Точка I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. На стороне BC отметили точку X. Оказалось, что AI=BX, AC=CX, angle ABC=42circ. Рисунок к задаче 9.3 (а) (2 балла) Сколько градусов составляет угол BIX? (б) (2 балла) Сколько градусов составляет угол BCA? (4 баллов) Фома и Ерёма ехали по прямой дороге в Москву на повозке с постоянной скоростью. В 12{:}00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» Ерёма ответил: «82». В 13{:}00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» Ерёма ответил: «71». В 15{:}00 Фома спросил: «Сколько вёрст до Москвы?» Ерёма ответил: (4 баллов) Про действительные ненулевые числа a, b, c известно, что a2-bc=b2-ac=c2-ab. (а) (1 балл) Какие положительные значения может принимать выражение (a/b+c) +(2b/a+c) +(4c/a+b)? Укажите все возможные варианты. Если выражение не может принимать положительные зна (4 баллов) Дан треугольник ABC, точка M — середина стороны BC. Пусть ell — биссектриса внешнего угла A треугольника ABC. Прямая, проходящая через M и параллельная ell, пересекает сторону AB в точке K. Найдите длину отрезка AK, если AB=23 и AC=8. Рисунок к задаче 9.6 (4 баллов) На доску выписаны числа 1, 2, 3, ldots, 57. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы никакие два выбранных числа не отличались ровно в 2,5 раза? (4 баллов) На плоскости отмечено 36 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары отмеченных точек соединены отрезком так, что из каждой отмеченной точки выходит не более 3 отрезков. Какое наибольшее количество различных замкнутых 4-звенных ломаных может получиться? Вершинам 
