В каждой точке A плоскости стоит вещественное число f(A). Известно, что если M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то f(M)=f(A)+f(B)+f(C). Докажите, что f(A)=0 для всех точек A. (А. С. Голованов) Паша и Вова играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Начинает Паша. Изначально перед мальчиками лежит большой кусок пластилина. За один ход Паша может разрезать любой из имеющихся кусков пластилина на три части (не обязательно равные). Вова своим ходом выбирает два куска и слепляет их вместе. В межгалактической гостинице есть 100 комнат вместимостью 101,102,ldots,200 человек. В этих комнатах суммарно живёт n человек. В гостиницу приехал VIP-гость, для которого нужно освободить целую комнату. Для этого директор гостиницы выбирает одну комнату и переселяет всех её жителей в одну и ту же др Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AC1 и B1 соответственно. Описанные окружности треугольников ABC и A1B1C пересекаются повторно в точке P. Отрезки AB1 и BA1 пересекаются в точке S. Точки Q и R симметричны S относительно прямых C В детском саду воспитательница взяла n>1 одинаковых картонных прямоугольников и раздала их n детям, каждому по прямоугольнику. Каждый ребенок разрезал свой прямоугольник на несколько одинаковых квадратиков (квадратики у разных детей могли быть разными). Оказалось, что общее количество квадратиков - В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Точки D и E - соответственно середины меньших дуг AB и BC окружности ω, описанной около треугольника ABC. На продолжении отрезка BD за точку D отмечена точка P, а на продолжении отрезка BE за точку E - точка Q так, что angle APB=angle CQB=90 В математическом кружке занимаются 24 школьника. Каждую команду, состоящую из 6 школьников, руководитель считает либо сыгранной, либо несыгранной. Для турнира математических боёв руководитель собирается разбить детей на 4 команды по 6 человек. Может ли оказаться, что при любом разбиении школьников н Даны непостоянный многочлен P(x) с целыми коэффициентами и натуральное число n. Положим a0=n, ak=P(ak-1) при всех натуральных k. Оказалось, что для любого натурального b в последовательности a0,a1,a2,ldots есть число, являющееся b-й с 
