(15 баллов) Дан выпуклый многогранник. Разделим длину каждого ребра на сумму длин остальных рёбер и вычислим сумму полученных дробей. Докажите, что полученная сумма меньше 1,5.
(15 баллов) Многочлен P(x) со старшим коэффициентом 1 имеет только целые коэффициенты, среди которых есть отрицательные. Обязательно ли многочлен (P(x))2025 имеет хотя бы один отрицательный коэффициент?
(15 баллов) В комплекте для сборки игрушечного поезда есть один локомотив (который всегда расположен спереди), 2n одинаковых красных вагонов и 3n одинаковых жёлтых вагонов. Назовём поезд длинным, если в нём есть хотя бы n вагонов (не считая локомотива). Сколько различных длинных поездов можно собрат
(20 баллов) Саша и Гоша поставили 2025 фишек в клетки доски 1000 × 1000 и по очереди ходят. Саша своим ходом может взять две фишки, стоящие в левом верхнем и правом нижнем углу некоторого клетчатого прямоугольника (со сторонами больше 1), и поместить их по одной в две другие угловые клетки того же п
(20 баллов) При каких n ≥ 2025 существует такой набор из n прямоугольников, что из них можно собрать прямоугольник (без пустот и наложений), а из любого меньшего их подмножества, состоящего из хотя бы двух прямоугольников, — нельзя?
