Найдите количество целых значений параметра a, при каждом из которых уравнение (a2+a+1)x2+(7a+2)x+(a-1)=0 имеет два корня, один из которых больше 2, а другой — меньше 2. Найдите наибольшее натуральное k такое, что число 3002700-32700 делится на 3k. Маша пишет в ряд крестики и нолики — всего 1000 символов. Оказалось, что количество символов между любыми двумя ноликами отлично от 12. Какое наибольшее количество ноликов могла написать Маша? Числа a, b, c удовлетворяют равенству 10bigl(a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)bigr)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b), причём обе части равенства ненулевые. Найдите наибольшее возможное значение суммы S=a+b+c. На сторонах параллелограмма ABCD отмечены точки E, F, G и H и соединены отрезками друг с другом и с вершинами параллелограмма, как показано на рисунке. Полученные в результате разбиения параллелограмма многоугольники раскрасили в шахматном порядке. Для всех частей, закрашенных серым цветом, кроме од Рассматривают все непустые подмножества множества T={1,2,ldots,100}. Для каждого из них вычисляют среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Пусть A — среднее арифметическое всех средних арифметических, вычисленных для подмножеств, содержащих число 40, а B — аналогичная величина для всех Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω, а его диагональ AC — биссектриса угла BAD. Найдите радиус окружности ω, если AB=dfrac{√2}{2}, AC=dfrac32, AD=dfrac5{2√2}. Ответ округлите до третьего знака после запятой. В течение 2N дней Петя планирует готовиться к экзаменам по N различным предметам, среди которых есть математика, физика и информатика. К каждому из экзаменов он будет готовиться ровно два дня, причём ни к математике, ни к физике, ни к информатике он не хочет готовиться два дня подряд, а каждый день Последовательность xn такова, что x0=2, а для всех целых неотрицательных n frac{xn+1}{4n2+12n+10}=(xn/4n2+4n+2) -1. Найдите x100. Квадрат ABCD вписан в окружность с центром O, точка M — середина его стороны AB. На чертеже отметили точки N и K. Вычислите площадь квадрата ABCD, если расстояние OK=L. Рисунок к условию В треугольнике на приведённом чертеже площади triangle ADE и triangle BFE равны 4, а площадь triangle FDE равна 2. Найдите площадь triangle CDF. Рисунок к условию Петя распределяет сумму 63000 рублей по трём инвестиционным проектам: в первом и втором указана доходность 3% и 5% годовых, а в третьем 6% годовых соответственно. Известно, что только один из проектов принесёт указанную доходность, а два других лишь вернут изначально вложенную сумму. Известно также, Отрезки AZ и CX — биссектрисы треугольника ABC, а Y — их точка пересечения. Найдите длину стороны AC этого треугольника, если angle ABY=α, площадь треугольника ABC равна S, а площади треугольников ABZ и ACX равны. Найдите минимальное значение параметра a, при котором множество решений уравнения (2a-7)x-y-6a+21=0 имеет ровно одну общую точку с множеством решений системы Найдите количество пар таких натуральных чисел a и b, что a — трёхзначное, b — четырёхзначное, а их произведение делится на 9. Пусть H — точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC. Окружность, описанная около треугольника ABH, касается прямой AC. Найдите косинус угла BCA, если AH=1, AB=3√(11). Найдите количество всех пар натуральных чисел x, y, при которых верно равенство 4√(10x)+x2+x+5y=102101. На занятии по физкультуре учитель расставил n школьников в шеренгу в случайном порядке (любой порядок равновероятен), а затем попросил старосту вычислить количество пар школьников, в которых стоящий справа ниже, чем стоящий слева (между школьниками в паре могут стоять и другие школьники). Какова вер Имеется палитра из нескольких различных оттенков цветов. Известно, что все оттенки из неё кроме сиреневого сочетаются с разным количеством других оттенков палитры (включая сиреневый), а сиреневый сочетается ровно с 13-ю. Какое наименьшее количество оттенков может быть в такой палитре? Рассматриваются многочлены вида P(x)=x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+128 с неотрицательными коэффициентами a1,a2,a3,a4,a 
