S007
Веймарская республика. Гиперинфляция. Отставной фельдфебель Ганс ранним утром приехал в пивную на своей инвалидной коляске, имея при себе миллиарда марок. В тот момент, когда он приехал, кружка баварского пива стоила миллиардов марок, а сосиска с кислой капустой – миллиардов марок. Гансу было известно, что через каждый час сосиска будет дорожать на миллиарда марок. Кроме того, он знал, на какую величину будет возрастать каждый час цена кружки пива, но, к сожалению, нам эта величина неизвестна. В связи с дефицитом продуктов посетитель может заказать не более одной кружки пива в час. То же относится к сосискам с кислой капустой. Правда, сидеть в пивной можно неограниченно долго, поскольку она работает круглосуточно.
Функция полезности Ганса имеет вид: , где – число выпитых кружек пива, – число съеденных сосисок. Фельдфебель Ганс сидел в пивной до тех пор, пока не потратил все свои деньги. Известно, что, максимизируя свою функцию полезности, Ганс выпил кружек пива. Если так, то сколько он съел сосисок с кислой капустой?
Ответ
Предельная полезность -й кружки пива: То же для -й сосиски: Поскольку цены благ возрастают так, что цена -й единицы блага всегда больше цены -й единицы, можно принять следующий критерий оптимума: , где , – цены последних приобретенных единиц того и другого блага.
Цена -й кружки пива: , где – величина, на которую каждый час дорожает кружка пива. Цена -й сосиски: .
Условие оптимума:
По формуле суммы членов арифметической прогрессии можно составить следующее бюджетное ограничение:
Используя условие оптимума, заменяем в этом выражении на .
Учитывая, что при оптимуме , получаем следующее уравнение: . .
Ответ: сосисок с кислой капустой.