Задание 6. Олимпиада Колокольникова 2024 (8 класс)
Трубочку со сгущенкой и капучино на кокосовом молоке, please!
Александр – модный инфлюенсер, который живет в М-сити и занимается криптовалютами. Для поддержания образа жизни ему нужны видеокарты первого и второго типа . Для удобства будем считать, что видеокарты бесконечно делимые.
У Александра есть друзья, которые занимаются производством видеокарт. КПВ первого друга задано функцией , а второго - . Александр может работать лишь с одним из них.
а) ( балла) Какое наибольшее количество карт первого типа Александр сможет получить при условии, что ему надо не менее карт второго типа?
Если Александр будет работать с первым другом и его друг произведет карт второго типа, то Александр сможет получить карт первого типа. Если Александр будет работать со вторым другом и будет произведено карт второго типа, то Александр сможет получить карт первого типа.
Следовательно, ему будет выгоднее работать со вторым другом, так как он будет получать больше карт первого типа. ( балла за полностью решенный пункт)
б) ( баллов) Найдите суммарное КПВ Александра. Нарисуйте график и задайте КПВ аналитически.
Александр решил переехать из небоскреба в загородный дом на знаменитом шоссе. В связи с этим у него появилась проблема: чтобы доставить видеокарты в загородный дом, необходимо их сложить в специальную защитную коробку, размер которой равен , а размер видеокарт первого и второго типа - и соответственно. Это значит, что в коробку поместится или видеокарт первого типа, или видеокарт второго типа, или любая линейная комбинация из видеокарт. Коробка ломается после переезда, и вторую такую не найти.
Так как Александр может производить видеокарты только у одного друга, его суммарная КПВ будет верхней огибающей кривых производственных возможностей его друзей, нарисованных на одном графике ( балла за обоснование либо максимизацию).
( балла за график)
В данном случае суммарная КПВ Александра будет задаваться функцией при и при . ( балл за аналитическую запись КПВ)
в) ( баллов) Найдите КПВ Александра после переезда.
Теперь поговорим о главном. Александр занимается майнингом криптовалюты re_coin, причем для получения одного re_coin требуется видеокарт первого типа и - второго.
Мы можем составить ограничение по вместимости коробок: . Теперь каждая точка на нашем КПВ должна быть доступна на КПВ из пункта б) (условие, что друзья могут произвести такое число видеокарт), а также быть доступна на (условие, что Александр может перевезти такое число видеокарт). Таким образом, необходимо взять нижнюю огибающую от данных КПВ, нарисованных на одном графике. ( балла за обоснование либо максимизацию; если обоснование неверное, но верная идея, то ставится балл).
( балла за график)
В данном случае суммарная КПВ Александра будет задаваться функцией
при , при и при .
( балла за аналитическую запись КПВ)