S004
Один итальянский город разделен рекой, через которую можно переправиться только на пароме. Единственным очагом культуры в данном городе является кукольный театр Карабаса-Барабаса, расположенный на левом берегу. Кстати, на левом берегу живет ровно в два раза меньше жителей, чем на правом. Жители правого берега переправляются на левый и обратно только с одной целью – посмотреть спектакль в театре КарабасаБарабаса. Все жители города имеют идентичные линейные функции спроса на билеты в театр. Однако следует учитывать, что жителям правого берега к цене каждого билета приходится добавлять плату за переправу на пароме. Паромщик назначает плату за переправу, никого не спрашивая и заботясь только о максимизации своей выручки. Карабас-Барабас, учитывая плату за переправу, назначенную паромщиком, устанавливает такую цену билета (одинаковую для всех жителей города), которая максимизирует выручку театра. Однажды Карабас-Барабас с целью увеличения выручки решил переместить театр с левого берега на правый (для простоты будем считать, что расходы на переезд театра равны нулю). Паромщик быстро сообразил, что его выручка в таком случае существенно уменьшится. Поэтому он решил отговорить Карабаса-Барабаса от его решения, пообещав навсегда уменьшить в несколько раз плату за переправу жителей на пароме. Во сколько раз паромщик должен уменьшить плату за переправу, чтобы Карабас-Барабас отказался от намерения переместить театр на правый берег?
В задаче не даны какие-либо конкретные значения или единицы измерения объемов и цен, поэтому функцию спроса жителей левого берега на билеты в театр можно выразить следующим образом: . На правом берегу население в два раза больше. Поэтому, если бы жителям правого берега не приходилось оплачивать паромную переправу, их функция спроса на билеты в театр имела бы вид: . Однако, учитывая, что к стоимости каждого билета в театр для жителя правого берега прибавляется стоимость переправы туда и обратно (обозначим величину этого тарифа как ), указанная функция спроса принимает другой вид: .
Общая функция спроса для случая, когда театр находится на левом берегу:
Выручка театра:
При заданной паромщиком величине t Карабас-Барабас максимизирует выручку театра при условии: . . Число билетов в театр, купленное жителями правого берега (и, соответственно, число пассажиров парома): Выручка паромщика: . Максимум выручки достигается при условии: . . Максимальная выручка паромщика в случае, если театр находится на левом берегу:
Предположим, Карабас-Барабас переместил театр на правый берег. Функции спроса для жителей левого и правого берега принимают вид: ; . Общая функция спроса: . Выручка театра: .
Условие максимизации выручки театра: . .
Число билетов в театр, купленное жителями левого берега (и, соответственно, число пассажиров парома): Выручка паромщика: . Максимум выручки достигается при условии: . . Максимальная выручка паромщика в случае, если театр находится на правом берегу: .
Максимальная выручка театра в случае, если театр находится на правом берегу:
Если паромщик хочет, чтобы театр остался на левом берегу, он должен установить такую величину тарифа , при котором театр будет получать на левом берегу выручку не меньше (а лучше, если немного больше).
Т.е. . Неравенство выполняется при и . Очевидно, по смыслу задачи следует принять значение .
Определим, во сколько раз паромщик должен снизить плату за переправу: . Таким образом, тариф следует снизить более чем в раза.
Осталось выяснить один вопрос: будет ли паромщик после снижения тарифа получать доход не меньший, чем в случае, когда театр все же перемещается на правый берег. Итак, пусть (точнее, чуть меньше ). Выручка паромщика в случае, если театр все же остался на левом берегу: (точнее, чуть меньше ) . Таким образом, паромщику выгодно снизить тариф для того, чтобы отговорить КарабасаБарабаса от перемещения театра.
Ответ. Более чем в раза.