Ягодный пирог — 7 класс
Даша и Катя, известные московским семиклассникам по Муниципальному этапу Всероссийской олимпиады школьников по экономике, вновь пошли в лес собирать ягоды.
На этот раз Даша за день может собрать не более килограммов черники или килограммов земляники, а Катя за день максимально может собрать килограмма черники или килограммов земляники. Девочки по-прежнему собирают ягоды с постоянной скоростью, а количество собранных ими ягод любого вида может быть любым (для упрощения будем считать, что нецелым может быть не только количество килограммов, но даже и количество ягод).
Собранные ягоды девочки приносят домой бабушке, которая из них печет диетический пирог по старинному тайному рецепту, благодаря которому масса готового пирога строго равна сумме масс ингредиентов.
Рецепт гласит: «Для того, чтобы получить килограммовую порцию пирога, необходимо взять килограмма земляники, килограмма черники и добавить необходимое по массе количество теста. Других ингредиентов кроме теста, земляники и черники в пирог добавлять не нужно. Вылепить пирог и поставить в печку. Печь до готовности».
Мудрая бабушка распределила работу между девочками, чтобы они смогли принести домой столько ягод, чтобы их хватило на максимальное количество килограммовых порций пирога.
- Сколько земляники и черники соберет каждая из девочек?
- Сколько порций пирога сможет испечь бабушка?
- Сколько теста будет потрачено бабушкой на изготовление пирогов?
Способ 1.
Обратим внимание, что девочки собирают ягоды с постоянной скоростью.
Заметим тогда, что, собирая единицу черники, Даша теряет возможность собрать единицы земляники, а Катя – (то есть больше ) единиц земляники.
Поэтому землянику в первую очередь собирает Катя, а чернику – Даша.
Предположим, что Даша собирает только чернику. Тогда за день она соберет черники на пирогов.
В этом случае Маше необходимо собрать для пирогов килограмма земляники.
На это у Маши уйдет дня.
Еще дня Маша будет собрать и землянику, и чернику.
Найдем, что килограмм черники Маша будет собирать за дня, а земляники – за дня.
Для одного пирога нужно: килограмма земляники и килограмма черники. На сбор ингредиентов для одного пирога уйдёт: дня на сбор земляники, дня на сбор черники.
Тогда общее время на сбор Машей ингредиентов для одного пирога составит дня.
За дня Маша сможет собрать ягоды для пирога. То есть для целых и пирога.
Маша за дня соберет килограмма земляники. Маша за дня соберет килограмма черники.
В итоге за день: Даша соберет килограмма черники и килограммов земляники Маша соберет килограмма черники. Маша соберет килограмма черники.
Бабушка сможет испечь килограммовых пирогов (как указано выше).
Пирог состоит из частей и весит килограмм.
Земляника и черника весят килограмма.
Так как сказано, что «масса готового пирога строго равна сумме масс его ингредиентов», тогда значит тесто в пироге весит килограмма
Всего для изготовленных пирогов требуется килограмма теста.
Если было округление до целого, то килограмма теста.
Способ 2.
Обратим внимание, что девочки собирают ягоды с постоянной скоростью.
Построим КПВ Даши и Кати. Они линейны, так как скорость постоянна
Найдем альтернативные издержки Даши и Кати, – черника, – земляника. У Даши: . У Кати: .
Альтернативные издержки у Даши ниже, поэтому чернику в первую очередь собирает она.
Построим общую КПВ.
По условию в пироге
Заметим, что земляники в полтора раза больше, чем черники, поэтому следует учитывать ограничение на «участке Кати» общей КПВ
Уравнение на участке Кати имеет вид .
При этом .
Решая систему, получим , откуда .
Тогда бабушка сможет испечь килограммовых пирогов.
Пирог состоит из частей и весит килограмм.
Земляника и черника весят килограмма.
Так как сказано, что «масса готового пирога строго равна сумме масс его ингредиентов», тогда значит тесто в пироге весит килограмма
Всего для изготовленных пирогов требуется килограмма теста.