Из Торжка в Москву
Купец собирается на ярмарку из Торжка в Москву. Он знает, что индивидуальный спрос каждого покупателя на его товар описывается функцией P = 40 − 2q, где P – цена товара, а q – его количество. Число покупателей меняется в зависимости от того, в какой момент купец приедет на ярмарку. Если купец приедет к самому началу ярмарки (в момент 0), покупателей не будет совсем, так же как и после закрытия ярмарки после шести часов её работы. Во время работы ярмарки число покупателей описывается функцией n = −3t2 + 18t, где n – число покупателей, а t – количество часов с момента открытия ярмарки, число покупателей не меняется в течение часа. Купец продаёт свой товар полностью за тот час, к которому он приехал. Через сколько часов после открытия ярмарки должен приехать купец, чтобы получить максимальную прибыль, если у него есть только постоянные издержки, равные 20?
Запишем прибыль купца:
(+4 балла)
Так как выражение , то q – это парабола ветвями вниз.
Найдем максимум: (+3 балла)
Подставляем: (+2 балла)
Парабола ветвями вниз, tВ = − 18 / −6 = 3 (+2 балла)
Допустимо альтернативное решение с меньшим количеством формул: Заметим, что оптимальный объём продаж каждому покупателю не зависит от времени приезда: если время приезда уже выбрано, то надо просто продавать каждому покупателю товар так, чтобы больше с него выручить. Оптимальные значения: q = 10, p = 20 (+6 баллов)
С другой стороны, заметим, что оптимальное время приезда не зависит от цены и индивидуального объёма продаж: если цена уже выбрана (выше мы посчитали, что q = 10, p = 20), то надо приехать в тот момент, когда покупателей максимальное количество, т. е. взять среднее арифметическое между 0 и 6
(парабола ведь симметрична, пересечения с осью находятся на одинаковом расстоянии от вершины), т. е. t = 3 (+5 баллов)
Ответ: 3.