S027
Половину трудоспособного населения одной страны составляют гедонисты (проще говоря, изнеженные лентяи), другую половину – трудоголики. Функция предложения труда гедонистов: ; функция предложения труда трудоголиков: ( , – предложение труда в часах рабочего времени в течение месяца, w – почасовая ставка заработной платы). Ставка заработной платы устанавливается правительством на одном уровне для обеих групп населения, при этом выбирается такое значение , которое обеспечивает ненулевое предложение труда как со стороны гедонистов, так и со стороны трудоголиков. Очевидно, месячный доход тех и других рассчитывается по формуле: .
Однажды правительство решило, что существующее значение коэффициента Джини ( ), рассчитываемое на основе месячных доходов, слишком велико для их страны и постановило увеличить ставку зарплаты для всех категорий населения до такого уровня, который обеспечивает минимальное значение указанного коэффициента.
a) На сколько денежных единиц правительство увеличило ставку заработной платы?
Легко доказать, что гедонисты предлагают труд при таких значениях заработной платы, которые находятся на интервале . Аналогично для трудоголиков: . . . То есть в соответствии с условием задачи ставка зарплаты, устанавливаемая правительством, находится на интервале .
. При максимальном значении мы имеем: Это означает, что месячный доход трудоголиков всегда будет выше месячного дохода гедонистов. Т.е. гедонисты при построении кривой Лоренца будут отнесены к группе «бедных». На приведенном ниже рисунке показано взаимное расположение графиков функций предложения труда гедонистов и трудоголиков.
Предположим, первоначально доля гедонистов в общем располагаемом доходе равна . Тогда кривая Лоренца для рассматриваемой страны имеет следующий вид:
Коэффициент Джини . По условию . .
. . . Пока мы не знаем, какой из этих корней удовлетворяет условиям задачи (т.е. показывает первоначальную ставку заработной платы). Поэтому примем к сведению оба. (Внимание: мы еще вернемся к этому месту в наших вычислениях).
Теперь определим, при каком значении w достигается минимальный на исследуемом интервале коэффициент Джини. Очевидно, этот минимум достигается тогда, когда минимальна относительная разница между и . В данной задаче проще всего минимизировать следующее отношение: (Разумеется, при условии, что ).
. (этот корень не отвечает ранее сформулированному условию: ).
Докажем, что при действительно достигается минимум функции . Для этого возьмем вторую производную функции и определим ее значение при .
Вторая производная положительна. Это значит, что мы получили минимум.
Теперь вернемся к этапу решения, где мы получили два значения первоначальной ставки заработной платы: , . Сейчас мы выяснили, что минимальное значение коэффициента Джини достигается при . Из условия задачи нам известно, что правительство повысило ставку заработной платы. То есть начальным значением было . Таким образом, ставка заработной платы была увеличена на денежных единиц.
Ответ : на денежных единиц.
b) Какое значение коэффициента Джини было при этом достигнуто?
При , , . Доля гедонистов («бедных») в общем доходе: . .
Ответ: значение коэффициента Джини