МЭ 2019 11 задача 6
У девочки есть 500 рублей, которые она может потратить на печенье «Советское детство» и зефир в шоколаде. Стоимость сладостей – 100 руб/кг и 200 руб/кг, соответственно. Когда девочка пришла в магазин, то обнаружила, что идёт акция на зефир. При покупке более 1-го кг действует скидка 20% на весь купленный зефир, при покупке более 2-х кг – скидка 30% и при покупке более 3-х кг скидка 50%. При этом скидки не суммируются. Пусть девочка предпочитает потреблять зефир и печенье в пропорции 1:1. Сколько зефира будет куплено, если можно купить нецелое число кг и девочка хочет потребить как можно больше комплектов зефира с печеньем?
Ответ: 25/12 кг зефира
Решение:
Построим 4 бюджетных ограничения при разных скидках. Получаем следующие случаи.
Пусть мы покупаем от 3 до 5 кг зефира. Тогда максимальное кол-во печенья определяется уравнением , то есть, пользуясь скидкой 50% на зефир, мы можем потребить от 0 до 2 кг печенья.
Если мы хотим купить больше 2 кг печенья, то пользуемся скидкой 30% на зефир и получаем уравнение , по которому можно купить от 2 до 11/5 кг печенья. 11/5 кг печенья определяется тем, что скидка в 30% действует от 2 до 3 кг зефира.
Аналогично действуем на остальных участках бюджетного ограничения:
, если действует скидка 20%, то есть от 11/5 до 17/5 кг купленного печенья.
, если нет скидки на зефир, то есть от 17/5 до 5 кг купленного печенья.
Найдём кол-во зефира, которое будет куплено. Так как пропорция 1:1, то покупаемое кол-во лежит на пересечении участка бюджетного ограничения и прямой . Оно равно 25/12 кг и лежит от 2 до 11/5 кг печенья.