Тот, кто стучит в дверь
Гражданину Белякову лет, он учитель химии в одной из городских старших школ. За эту работу он получает $ в месяц. Кроме того, он подрабатывает на автомойке, где зарабатывает ещё примерно $ в месяц. У него есть жена и сын-школьник, а также скоро появится дочь. После своего пятидесятого дня рождения гражданин Беляков узнал, что болен раком лёгких и ему осталось жить буквально полгода. Прикинув ожидаемые расходы на поддержание дома, автомобиль, образование для детей и прочее, он определил сумму, оставив которую он обеспечит своей семье безбедное будущее и жизнь на проценты по вкладам на долгие годы вперёд –
$ . Его текущая заработная плата не позволяет за прогнозируемое ему время накопить такую сумму денег, поэтому он решил пересмотреть своё отношение к жизни и попробовать использовать свой талант химика в полной мере, занявшись производством редкой и ценной субстанции. Производство субстанции сопряжено с определёнными рисками – за её специфические свойства она была запрещена, и её производство преследуется по закону. Однако познания гражданина Белякова в химии позволяют ему готовить продукт высочайшего качества и продавать его по цене значительно выше обычной – по $ за унцию (эту сумму производитель получит на руки). За неделю на локальном рынке можно продать до фунтов субстанции. Производство придётся открывать с партнёром, а прибыль от реализации в этом случае будет делиться между ними пополам. Чтобы освободить время для приготовления субстанции, гражданину Белякову придётся отказаться от работы на мойке, но из школы он уйти не может – он не может подставлять свою семью, а значит, должен держать свою новую деятельность в тайне от них, и работа в школе поможет это сделать. Даже в былые времена заработок нашего гражданина не позволял семье делать сбережений, а теперь ему и вовсе придётся тратить всю легальную зарплату на обязательные расходы по содержанию дома и семьи. Вдобавок ко всему остальному, ему нужно проходить ещё и дорогостоящее лечение, расходы на которое составляют $ в неделю.
- ( балла) Полиция в городе пока не очень сильно интересуется ограничением продажи субстанции, поэтому она достаточно редко находит точки её продажи и конфискует её – всего в случаев. За сколько недель гражданин Беляков сможет собрать нужную ему сумму, если больше ничего ему не мешает, а деньги ему придётся хранить в вентиляционной системе своего дома?
- ( баллов) Брат гражданина Белякова – сотрудник полиции – решил встать на тропу войны с субстанцией, увеличив процент конфискаций до . Кроме того, он решил искать главных виновников – производителей, из-за чего над нашим гражданином нависла угроза быть пойманным и отправленным в тюрьму. Поскольку работа оставляет следы, вероятность быть пойманным равна на первой неделе производства и возрастает на процентный пункт каждую неделю. Если производителя поймают, то у него заберут все деньги, которые он на этом заработал. Гражданин Беляков перфекционист. Узнав всё это в процессе обдумывания решения и посчитав всё, он понял, что рискует не заработать необходимой суммы за отведённое ему время ( недели), и поэтому решил даже не открывать производство. При каких значениях он мог принять такое решение?
- ( балла) Оглядываясь назад, гражданин Беляков понял, что мог бы давать частные уроки химии и зарабатывать на этом дополнительные $ в месяц, которые мог бы сберегать на будущее. Инфляция в стране составляет , а процент по вкладам – . Начав сберегать в каком возрасте, наш гражданин смог бы получить на своём счету необходимую сумму к пятидесяти годам?
- Для ответа на вопрос задачи нам необходимо посчитать еженедельную сумму, которую Беляков будет получать на руки после всех перераспределений и оплаты расходов. По условию вся легальная зарплата уходит на оплату дома и прочие обязательные траты, а значит её можно не учитывать. Получается, Беляков получит половину денег от продажи фунтов субстанции с учётом конфискации и за вычетом расходов на лечение:
балла
Тогда легко посчитать срок, за который он получит необходимую сумму в :
Это значит, что за недель он ещё не соберёт нужной суммы, но зато соберёт за .
Ответ: недель - балл
Критерии при отличающемся решении:
балл за весь пункт – если при расчёте суммы еженедельного дохода было потеряно одно из условий: разделение средств с партнёром, конфискация субстанции, учёт расходов на лечение.
балл за весь пункт – если учтена легальная зарплата, но не учтены бытовые расходы и наоборот.
За ответ « недель» баллы не снимались.
- С учётом увеличившегося процента конфискаций, ожидаемый недельный заработок гражданина Белякова (в случае если его не поймают) изменился:
− балл
Вероятность поимки на -ой неделе: - ( балл при отсутствии дальнейшего решения или неправильном решении). Чтобы посчитать ожидаемый заработок на -ой неделе с учётом того, что Беляков потеряет все деньги, если его поймают, можно «переформулировать» задачу так:
Каждую неделю все уже заработанные деньги Беляков «сдаёт», после чего играет в лотерею, в которой либо получает назад все «сданные» деньги и ещё бонусом с вероятностью либо ничего не получает с вероятностью . Как только Беляков получает первый – игра заканчивается. Значит, он получит выигрыш на -ой неделе только если его не поймают ни на одной из предыдущих. Тогда ожидаемый заработок на -ой неделе:
По условию Беляков не открывает производство, если рискует не заработать необходимую сумму за недели, а значит выражение выше нужно переписать для и сравнить с .
( балл)
Для наглядности распишем:
Заметим, что
Заметим так же, что . Нетрудно заметить, что в правой части предыдущего неравенства домножается на несколько значений, меньших единицы. Следовательно,
для любого
балла за правильное рассуждение.
Может быть он сможет заработать нужную сумму быстрее?
− балл
Значит, даже если бы гражданина Белякова не пытались поймать, ему бы потребовалось недель на сбор необходимой суммы. , а значит вероятность собрать нужную сумму за семнадцать недель была бы меньше , при необходимых – балл. Очевидно, что при всех , вероятность поимки растёт слишком стремительно, и прирост платежа не способен это компенсировать. Таким образом мы проверили, что при любом гражданин Беляков не стал бы открывать производство – балл.
Критерии в случае неправильных или альтернативных решений:
Ответ «Риск не заработать нужную сумму есть всегда, т.к. вероятность поимки как минимум со второй недели станет выше » и подобные ему оценивались в баллов.
Ответ «При вероятности поимки выше Беляков уйдет с рынка, поэтому...» и подобные ему оценивались в баллов.
Ответ «Беляков уйдёт с рынка при вероятности поимки , поэтом...» и подобные ему оценивались в баллов.
Если в решении присутствовала попытка посчитать ожидаемый платёж (хоть и неверная) решение оценивалось от до баллов, в зависимости от тяжести допущенных ошибок.
- Поскольку в вопросе задачи спрашивается о сроке, за который на счету гражданина Белякова будет собрана необходимая сумма, мы должны посчитать только номинальное количество денег на счету. Годовая ставка процента нам дана.
Каждый месяц гражданин мог бы откладывать по . Тогда ежемесячный процент по вкладу был бы .
Тогда сумма на вкладе на конец -ного месяца будет считаться следующим образом:
И нам надо найти такое , при котором эта сумма больше или равна :
Заметим, что эта сумма – сумма членов геометрической прогрессии. Такая сумма рассчитывается по формуле:
где − первый член прогрессии, а −её знаменатель.
В нашем случае , тогда:
Если имеющийся калькулятор умеет вычислять только квадратные корни, можно заметить, что a ,из чего можно сделать вывод, что . Если же он позволяет считать корни и или любой степени, то . Отсюда:
Если имеющийся под рукой калькулятор умеет вычислять логарифмы, то . Тогда количество лет, которое потребуется на накопление нужной суммы - . Тогда, чтобы накопить нужную сумму к годам, гражданину Белякову нужно было начать сберегать в года (или года и месяцев).
Если же калькулятор такого не позволяет, то ответ можно записать в виде:
Критерии оценивания:
За полностью правильное решение ставилось балла.
Если участник принимал ставку в за ежемесячную - такой подход принимался и оценивался аналогично решению для годовой ставки (с поправкой на изменения в численных значениях).
Если в работе присутствовало объяснение, что можно пренебречь ежемесячными процентами в связи с малым их значением ( при округлении до второго знака после запятой), решение с начислением процентов только в конце года (без капитализации) считалось верным и оценивалось из критериев, аналогичных оригинальному решению.
Если был использован в явном виде тот факт, что при маленьких значениях сумма чисел примерно равна их произведению и ежемесячный процент считался как /мес, такое решение считалось верным и оценивалось из критериев, аналогичных оригинальному решению.
За правильный ход решения с реальными процентами (с поправкой на изменения в численных значениях) ставилось балла.
При отсутствии полностью правильного решения:
балл ставился за правильную формулу суммы вклада в конце срока хранения с учётом сложных процентов.
балл ставился за расчёт количества месяцев/лет, необходимых для заработка методом ежемесячного откладывания /ежегодного откладывания без начисления процентов.