Трехмерное потребление
Господин M потребляет всего три блага: жареную картошку , майонез и агрегированное благо . Полезность, получаемая от потребления каждого из них, описывается функцией: . Известно, что доход потребителя составляет д.ед, а рыночные цены на все блага равны .
а) Постройте карту кривых безразличия в координатах , если г. М максимизирует суммарную полезность .
б) Определите максимально возможный уровень полезности при различных значениях .
Ответ
Запишем функцию суммарной полезности :
откуда для определенного уровня полезности получаем уравнение кривой безразличия:
Данное уравнение задает в координатах множество концентрических сфер (см. график).
б) Бюджетное ограничение имеет вид: . Заметим, что максимум суммарной полезности достигается в точке , поэтому если этот набор доступен потребителю, то он выберет его (Случай ). Иначе оптимум достигается при выполнении условия касания границы бюджетного ограничения (плоскости ) и кривой безразличия (Случай ).
Случай . Если , оптимум достигается в точке .
Случай . . Если плоскость касается сферы, то расстояние от центра сферы (точки ) до плоскости равно радиусу сферы, то есть величине . Составим соответствующее уравнение:
$\rho = \frac{1 \cdot 5 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 5 - I}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \sqrt{75 - U} \Rightarrow U^* = 75 - \frac{1}{3}(15 - I)^2$
Ответ:
а)
б)