Фруктовая страна (10-11)
Во Фруктовой Стране есть три региона , в каждом из которых выращивают персики и бананы . В каждом из регионов КПВ имеет линейный вид; альтернативные издержки производства персиков положительны, и в регионе они больше, чем в регионе , а в регионе больше, чем в регионе . Максимально возможное количество произведенных персиков в каждом из регионов одинаково и равно тонны. Максимально возможное производство бананов в стране равно тонны.
Страна потребляет персики и бананы только в пропорции и максимизирует потребление фруктов. Известно, что в условиях закрытой экономики каждый из фруктов производился более, чем в одном регионе. Hа мировом рынке можно обменять тонну персиков на тонну бананов. После того как страна открылась для международной торговли, стране стало безразлично, сколько персиков и бананов производить в одном из регионов (при оптимальных уровнях производства в других регионах).
В результате открытия международной торговли потребление как персиков, так и бананов в стране выросло на тонн. Какие значения может принимать ?
Для удобства проверки при построении КПВ указывайте количество произведенных персиков по горизонтали. Кроме того, если вы будете решать задачу аналитически (что необязательно), обозначьте альтернативные издержки (а. и.) производства персиков в регионах за , и , .
Ответ
Всю задачу можно решить двумя способами – либо с помощью геометрических соображений, не вводя уравнения КПВ регионов в общем виде аналитически, либо вводя эти уравнения. В дальнейшем мы будем приводить оба этих способа (конечно, участнику достаточно решить задачу каким-нибудь одним из способов, причем их можно комбинировать, то есть получить какие-то из выводов геометрически, а какие-то – аналитически).
Заметим, что луч пересекает КПВ страны на «среднем» участке, так как каждый из товаров производится более чем в одном регионе. Тогда из геометрических соображений видно, что точка должна находиться выше КПВ страны. Для дальнейшего решения геометрическим способом этого наблюдения достаточно.
Решая аналитически, получаем, что уравнения КПВ в трех регионах имеют вид , , . Поскольку КПВ страны является суммой трех линейных КПВ, она вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), и значит участок общей КПВ, соответствующий региону , является самым правым. Тогда уравнение КПВ страны на этом участке имеет вид . Пересечение этой прямой и прямой должно произойти при . Точка пересечения имеет абсциссу , откуда . Это аналитический вариант условия о том, что точка должна находиться выше КПВ страны.
Альтернативные издержки в одном из регионов должны равняться , так как стране неважно, сколько каких товаров производить в этом регионе после открытия торговли. Рассмотрим три случая.
а) Допустим, а. и. равны в регионе .
Способ 1. Поскольку КПВ страны является суммой трех линейных КПВ, она вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), и значит участок общей КПВ, соответствующий региону , является самым правым. Тогда уравнение КПВ страны на этом участке имеет вид . И снова, поскольку КПВ страны вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), вся КПВ лежит под прямой . В этом случае максимальный объем производства бананов в стране не больше , а по условию он равен . Противоречие.
Способ 2. Уравнения КПВ в трех регионах имеют вид Тогда максимальное производство бананов равно . По условию же оно равно . Противоречие.
b) Допустим, а. и. равны в регионе .
Способ 1. Поскольку участок общей КПВ, соответствующий региону, является «средним», при открытии международной торговли объемы потребления не изменятся, а по условию . Противоречие.
Способ 2. Поскольку точка лежит над КПВ и поскольку наклон КПВ на среднем участке равен , вся КПВ, в силу своей вогнутости (выпуклости вверх, выполнения закона возрастающих а. и.) должна лежать под прямой , а значит, максимальное производство бананов в стране меньше . По условию же оно равно . Противоречие.
Способ 3. Поскольку и , а по выведенному выше , максимальное производство бананов, равное , меньше . По условию же оно равно . Противоречие.
с) Значит, а. и. равны в регионе . Поскольку выполняется закон возрастающих альтернативных издержек, регион соответствует верхнему участку КПВ страны. Значит, уравнение КПВ на этом участке имеет вид . Кроме того, такое уравнение имеет прямая, вдоль которой страна обменивается товарами с другими странами. Значит, объемы потребления после открытия торговли определяются из пересечения прямых и , откуда .
Для ответа на вопрос задачи осталось определить, какие значения может принимать потребление фруктов в условиях закрытой экономики.
Заметим, что точка является точкой излома КПВ, а точка лежит на КПВ. Соединим эти точки прямой. Ее уравнение имеет вид . Поскольку КПВ вогнута (выпукла вверх, выполняется закон возрастающих а. и.), КПВ не может лежать ниже этой прямой. Значит, объемы потребления в отсутствие торговли не меньше, чем те, что получаются при пересечении прямых и . Эти объемы равны .
Наконец, по сказанному выше, точка лежит выше КПВ страны, и поэтому объемы потребления в условиях закрытой экономики меньше . Значит, объемы потребления в условиях закрытой экономики лежат в пределах от до , не включая границы. Граница не включается, так как в противном случае оказалось бы, что точка лежит на КПВ, а это не так. Граница не включается, так как в противном случае оказалось бы, что альтернативные издержки в регионах и одинаковы, а по условию это не так.
Легко убедиться графически, что все промежуточные объемы между и возможны. Отсюда получаем, что выигрыш страны от торговли .
Ответ: