РЭ 2023 9-10 задача 4.5
Газодобывающая компания владеет двумя месторождениями. Чтобы получить млн куб. м. газа на первом месторождении, нужно потратить д.е.; чтобы получить млн куб. м. газа на втором месторождении, нужно потратить д.е. Пусть — суммарная добыча газа, а — функция издержек компании. Определите все значения , для которых .
Ответ: .
Комментарий. показывает минимальные издержки компании на добычу тыс. баррелей. Поскольку компания всегда может разделить добычу поровну между месторождениями, для любого верно, что . Значит, тогда и только тогда, когда , то есть когда делить выпуск поровну является оптимальной стратегией. Найдем, при каких это так.
Суммарные издержки фирмы равны . Фирма минимизирует эту квадратичную функцию по на отрезке . Нам нужно, чтобы минимум достигался при . Поскольку , точка находится внутри отрезка , а значит, минимум в ней достигается, только если является абсциссой вершины параболы. Вершиной параболы является , значит , откуда . Также можно решить эту задачу и «в лоб», найдя аналитически выражение для , и непосредственно решив данное в условии неравенство.