Звезда и треугольник
Фрагмент электрической цепи состоит из шести резисторов, соединённых так, как показано на рисунке.
Из узла всегда вытекает ток постоянной силы . Из узла вытекает ток силой , которую можно регулировать как по модулю, так и по направлению (при его направление совпадает с изображённым). Эту силу тока будем называть регулируемой. Втекающий в третий узел ток определяется из закона сохранения электрического заряда.
-
Определите изменение силы тока через резистор между узлами и , если регулируемый ток увеличить на . Ответ выразите через .
-
Определите изменение силы тока через резистор между узлами и , если регулируемый ток увеличить на . Ответ выразите через .
-
При каком значении регулируемой силы тока ток в одном из резисторов становится равным нулю? Укажите этот резистор. Ответ выразите через .
-
При каком значении регулируемой силы тока суммарная тепловая мощность, выделяющаяся на резисторах, будет минимальна? Чему равна эта минимальная мощность ? Ответы выразите через и .
Ответ
Способ 1. Воспользуемся методом наложения токов. Представим два независимых источника тока: один создаёт ток силой , другой регулируемый ток (см. рисунок 1).
При расстановке токов учтём, что часть цепи для каждого источника представляет собой сбалансированный мост.
Способ 2. Введём токи и , далее, с учётом первого и второго правил Кирхгофа выразим через них токи во всех остальных участках разветвлённой цепи (см. рисунок 2).
Запишем первое правило Кирхгофа для узлов и и получим систему уравнений: , . Отсюда , . Заметим, что ток никак не влияет на силу тока через верхний резистор, следовательно: . Изменение силы тока через нижний резистор . Единственный резистор, через который токи от двух источников направлены противоположно, это резистор между узлами и . Условие обнуления тока: . Таким образом, .
Ответ на четвёртый вопрос можно получить разными способами.
Способ 1. Мощность можно рассчитать как сумму мощностей воображаемых источников токов и . Напряжение между узлами и : , а между узлами и : . Тогда суммарная тепловая мощность, выделяющаяся в цепи, равна: .
Способ 2. Тот же результат можно получить как сумму тепловых мощностей на каждом резисторе. Минимум выражения (вершина параболы) достигается при: . Соответствующая минимальная мощность: .