Посеребренный конус
В большой непрозрачной пластине толщиной просверлено отверстие. Форма его боковой поверхности представляет собой усечённый конус с диаметрами оснований и . Ось конического отверстия перпендикулярна пластине, а боковая поверхность посеребрена и идеально отражает падающий на неё свет. Плоский экран расположен параллельно пластине на расстоянии от нее (см. рис.).
Система освещается параллельным потоком света, направленным вдоль оси конуса. Геометрические параметры , и связаны соотношением: .
1. Изобразите картину, наблюдаемую на экране. Укажите на рисунке все характерные геометрические размеры. Считайте, что свет попадает на экран только через отверстие в пластине.
2. Между пластиной и экраном поместили идеальную собирающую линзу. Фокусное расстояние линзы . Главная оптическая ось линзы совпадает с осью конуса. Экран расположен в фокальной плоскости линзы. Считайте, что все лучи, вышедшие из отверстия в пластине, попадают на линзу. Изобразите картину, наблюдаемую на экране в этом случае. Укажите на рисунке все характерные геометрические размеры.
Примечание: не забудьте привести построения и расчеты, необходимые для определения характерных геометрических размеров, а также обоснование вида картинки, наблюдаемой на экране.
Ответ
1. Рассмотрим пучок лучей, падающих на правое (по рисунку) основание конуса диаметром . Часть лучей, идущих в пределах круга диаметром с центром на оси конуса, проходит без препятствий и образует на экране круглое пятно того же диаметра . Остальные лучи, прошедшие через входное сечение конуса, испытывают не менее одного отражения от боковой поверхности конуса. Поскольку оптическая схема имеет осевую симметрию, то эти лучи будут образовывать кольца, с центром в точке пересечения экрана осью конуса. Выясним количество и геометрию колец (радиусы и ширину колец, а также возможность их перекрытия друг с другом).
В дальнейшем будем рассматривать лучи, падающие на одну из образующих конической поверхности. Пусть — угол между направлением исходного пучка света и конической поверхностью отверстия. Из геометрии
Заметим, что из условия следует .
Рассмотрим луч исходного пучка, падающий на самый край выходного сечения конуса и не отражавшийся до этого. После одного отражения он выйдет из отверстия под углом к начальному направлению. Теперь рассмотрим луч , падающий на коническую поверхность максимально далеко от выходного отверстия и испытывающий ровно одно отражение до выхода из пластины.
Найдем расстояние от места падения луча до левой поверхности пластины. Так как , то с хорошей точностью можем считать равным угол между конической поверхностью отверстия и поверхностью пластины. В таком случае
Эти лучи (с учетом симметрии) образуют на экране кольцо, толщина которого . Радиус средней линии кольца найдем, рассмотрев ход луча, испытавшего одно отражение и вышедшего из центра выходного отверстия. Так как луч выходит под углом к оси конуса, то
Заметим, что (толщины первого кольца и диаметра центрального пятна), что означает отсутствие пересечения первого кольца с центральным пятном.
Рассмотрим лучи, отразившиеся от конической поверхности отверстия дважды. Они выйдут из пластины под углом и образуют на экране еще одно кольцо. Найдем расстояние между точками первого отражения предельных лучей из этой группы. Так как , то с хорошей точностью . Как мы видим, толщины пластины недостаточно для того, чтобы лучи, испытавшие два отражения, выходили в заданном направлении со всей площади выходного отверстия.
Из хода предельных лучей и видно, что толщина второго кольца , а радиус внешней части второго кольца равен
2. Все вышедшие из отверстия пучки параллельных лучей соберутся в фокальной плоскости.
Определить место их сбора можно следующим образом: так как и , то можно считать, что все лучи выходят практически из одной точки, совпадающей с фокусом линзы, значит после преломления они будут идти параллельно главной оптической оси. Из рисунка видно, что в таком случае радиусы колец уменьшатся в два раза:
Определим как изменятся их толщины и диаметр центрального пятна. Центральное пятно образуется параллельным пучком лучей, идущим вдоль главной оптической оси. Идеальная линза собирает такие лучи в точку, поэтому в приближении геометрической оптики размер центрального пятна будет много меньше . Кольца образуются также параллельными пучками лучей, которые идеальная линза собирает в фокальной плоскости, поэтому толщина колец тоже станет много меньше .