Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Заключительный (9–11 классы), 2026, 10 класс, Второй тур

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 5

Существует ли выпуклый -угольник, в котором каждая диагональ перпендикулярна какой-то другой диагонали?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: Да, существует.

Решение. Возьмем правильный -угольник , выделим в нем вершину . Нужный нам пример — -угольник с вершинами во всех вершинах , кроме вершины .

Действительно, любая диагональ многоугольника служит также диагональю в . Поэтому в имеется хотя бы диагоналей направления, перпендикулярного . Среди этих $99 $ диагоналей заведомо найдется диагональ : точно подойдет любая из этих диагоналей, не проходящая через вершину и соседние с ней вершины.

Замечание. На аналогичный вопрос для выпуклого -угольника ответ положительный для всех , кроме . Для четных примером является правильный -угольник; при нечетных — правильный -угольник с вычеркнутой вершиной, как в решении; также нетрудно показать, что требуемого 5-угольника не существует.

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 7

(20 баллов) На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка E, а на стороне AD — точка F так, что описанная окружность треугольника ABE касается отрезка CF. Докажите, что описанная окружность треугольника CDF касается прямой AE. (А. Кузнецов, П. Кожевников)
Очень сложная
Планиметрия

ВсОШ 2024, 11 класс, задача 6

Остроугольный неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность ω с центром в точке O, его высоты пересекаются в точке H. Через точку O проведена прямая, перпендикулярная AH, а через точку H - прямая, перпендикулярная AO. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами AB и AC лежат на о
Очень сложная
Планиметрия

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 2

Медианы остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M. На стороне BC отмечены точки K и N так, что BK=KN=NC. Высоты треугольника MKN пересекаются в точке H. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков AH, BH и CH, касается описанной окружности треугольника MKN.
Очень сложная
Планиметрия

ВсОШ 2024, 10 класс, задача 4

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором angle A+angle D=90circ, его диагонали пересекаются в точке E. Прямая ell пересекает отрезки AB, CD, AE и ED в точках X, Y, Z и T соответственно. Известно, что AZ=CE и BE=DT. Докажите, что длина отрезка XY не больше диаметра описанной окружности
Очень сложная
Планиметрия