Физтех 2024, отборочный этап, 9 класс, первый тур, задача 10

За круглым столом сидят мудрецов. Известно, что среди любых трёх мудрецов, сидящих подряд, есть хотя бы один мудрец в красной шапке. Какое наименьшее количество красных шапок может быть у мудрецов?

Ответ

Ответ. .

Решение. Выберем одного мудреца в красной шапке. Оставшихся мудрецов разобьём на троек подряд. В каждой тройке есть хотя бы один мудрец в красной шапке, поэтому всего красных шапок не меньше .

Пример с красными шапками существует: выдадим красные шапки мудрецам с номерами , , , , .

Похожие задачи

Физтех 2023, отборочный этап, 9 класс, четвёртый тур, задача 5

У Олега есть конфеты 16 сортов. Он хочет выложить конфеты в ряд так, чтобы для любых двух различных сортов нашлись рядом лежащие конфеты этих сортов. Какого наименьшего количества конфет ему для этого хватит?

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2024, отборочный этап, 11 класс, второй тур, задача 8

В каждую клетку доски 26 × 25 клеток поставили либо чёрную, либо белую шашку. Оказалось, что в любом «уголке» из 3 клеток стоит хотя бы одна чёрная шашка. Какое наименьшее количество чёрных шашек может стоять на доске?

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 10

За круглый стол сели 90 мудрецов. Каждый из них взял карточку и записал на ней целое ненулевое число. Оказалось, что у каждого мудреца число на карточке больше произведения чисел на карточках трёх ближайших мудрецов, сидящих справа от него. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть

Сложная

Комбинаторика

Физтех 2025, отборочный этап, 9 класс, второй тур, задача 10

На клетки доски 12 × 12 положили камни попарно различного веса (в каждую клетку положили ровно один камень). Тройку клеток назовём хорошей, если они расположены в виде «уголка», а камень, лежащий в «вершине» уголка, тяжелее каждого из двух камней, лежащих в двух остальных клетках уголка. Какое наибо

Сложная

Комбинаторика