Высшая проба 2024, 7 класс, задача 5
( баллов) По кругу стоит шесть коробок, в одной из них камень. За ход можно из коробки взять один камень и положить по одному камню в соседние с ней коробки. А можно наоборот пару камней в коробках через одну заменить одним камнем в коробке между ними. Через некоторое количество ходов снова остался один камень. Может ли этот камень лежать в коробке, соседней с исходной?
Ответ
Пронумеруем коробки по порядку числами от до . Определим, как может меняться суммарное число камней в коробках с номерами и . Если выполнить ход для тройки коробок или , это число увеличится или уменьшится на два. Если выполнить ход для любой другой тройки коробок, это число не изменится.
В исходный момент суммарное число камней в коробках и равно нулю. Поскольку при любом ходе оно меняется на или не меняется, оно всегда чётно, а значит, не может стать равным .