Высшая проба 2024, 10 класс, задача 6
( баллов) По кругу расставлены натуральные числа. Петя поделил каждое из них на натуральное число, ближайшее к среднему геометрическому соседних чисел. Оказалось, что все полученные числа — натуральные. Чему может быть равно наибольшее из них?
Ответ
Решение.
Ответ: , , .
Примеры:
. ;
. ;
. .
Оценка: Предположим противное: пусть нам удалось придумать расстановку, в которой одно из отношений не меньше . Пусть по кругу стоят числа (позиции будут нумероваться по модулю ).
Если ближайшее число к это , то , то есть среди этих чисел есть число, которое не больше . Также для любого натурального не может быть такого, что одно из этих чисел больше , а другое больше , потому что .
Пусть не умаляя общности мы поделили на округлённое число и получили хотя бы . Тогда какое-то из чисел и хотя бы в раза меньше, чем . Не умаляя общности .
Пусть , тогда . Произведение всех иксов равно , значит, есть .
Рассмотрим минимальное такое , что . Тогда , так как иначе рядом с числом одно число больше , а другое больше . Противоречие с уже доказанным для .
Таким образом, у нас есть . Заметим, что
Неравенство следует из того, что при .
Потому
Но , тогда , то есть . При этом для от до : , потому что отношения соседних не меньше .
Тогда
То есть
Но по индукции верно неравенство . Следовательно,
Противоречие. Таким образом, отношения больше получить невозможно