ВсОШ 2022, 11 класс, задача 1
( баллов) Назовём главными делителями составного числа два наибольших его натуральных делителя, отличных от . Составные натуральные числа и таковы, что главные делители числа совпадают с главными делителями числа . Докажите, что .
(А.С. Голованов)
Ответ
Решение.
Пусть — главные делители числа ; тогда и — два наименьших делителя числа , больших единицы. Пусть — наименьший простой делитель числа , а — наименьший простой делитель , кроме (если такой существует). Тогда . Далее, — либо простое число (тогда это ), либо составное. Во втором случае единственным простым делителем числа является , и поэтому ; этот случай реализуется ровно тогда, когда делится на , причём или не существует.
Итак, главные делители числа — это либо и , либо и . Покажем теперь, что по двум главным делителям составное число восстанавливается однозначно (откуда и следует требуемое). Если кратно , то выполнен второй случай, и тогда . Иначе выполнен первый случай, и тогда .