Всесиб 2023, 9 класс, задача 3
( баллов) Два равносторонних треугольника и расположены на плоскости так, что их единственной общей точкой является вершина . Пусть точки , и являются серединами отрезков , и соответственно. Докажите, что треугольник тоже является равносторонним. Длины сторон треугольников и различны.
Ответ
Доказательство. Продлим отрезок за вершину ещё на столько же, получим точку . Диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому он - параллелограмм. Отрезки , и являются средними линиями в треугольниках , и , поэтому их равенство равносильно равенству отрезков , и . Последнее будет следовать из равенства треугольников , и . Докажем его, установив равенства углов и прилегающих сторон к вершинам , и .
Действительно, , как стороны равностороннего треугольника . По той же причине , а , как противоположные стороны параллелограмма . Аналогично, , как вторая пара противоположных сторон параллелограмма , и , как стороны равностороннего треугольника . Равенства прилегающих сторон доказаны. Угол равен сумме угла и , а угол равен сумме угла и . Углы и равны, как противоположные в параллелограмме , значит углы и равны. Обозначим величину угла за , тогда угол равен , что равняется углу . Доказательство равенства треугольников , и завершено. Из него, как замечено выше, следует равенство отрезков , , и утверждение задачи.