ВсОШ 2024, муниципальный этап, 10 класс, задача 6

( баллов) (а) ( балла) Рассмотрим все натуральные числа от до включительно. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы произведение никаких двух различных выбранных чисел не делилось на ?

(б) ( балла) Рассмотрим все натуральные числа от до включительно. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы произведение любых двух различных выбранных чисел делилось на ?

Ответ

Ответ: (а) ; (б) .

Верное решение пункта (а).

Верное решение пункта (б).

Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2025, муниципальный этап, 8 класс, задача 5

(2 баллов) У Пети есть три палочки, длины которых равны a см, b см и c см. Известно, что числа a, b и c натуральные, различные, и ac=b². Петя смог сложить из своих палочек треугольник. (а) Какой наименьший периметр мог быть у этого треугольника?

Сложная

Теория чисел

ВсОШ 2026, муниципальный этап, 7 класс, задача 7

(7 баллов) В ряд выписали дроби frac11, frac12, frac13, ldots, frac1{1000}. Затем все эти дроби привели к общему знаменателю. У скольких из получившихся дробей числитель не делится на 77²?

Сложная

Теория чисел

ВсОШ 2024, муниципальный этап, 9 класс, задача 7

(4 баллов) В компьютер ввели число 1. За одну операцию число в компьютере можно либо увеличить на 7, либо поделить на 2, если оно чётное (например, из числа 60 можно получить 30 или 67). При этом запрещается получать числа, большие 400. Число назовём классным, если его можно получить в результате не

Сложная

Теория чисел

ВсОШ 2026, муниципальный этап, 8 класс, задача 2

(7 баллов) На доске написано 432105. За одно действие разрешается либо поменять местами две соседние цифры в этой записи, либо заменить число, образованное двумя соседними цифрами, на число на 9 меньше, если оно неотрицательное. При этом в записи могут появиться нули в начале. Так, например, если бы

Сложная

Теория чисел