Всесиб 2022, 10 класс, задача 2
( баллов) Найти необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять натуральные числа , , такие, что можно записать по кругу в некотором порядке раз букву , раз букву и раз букву так, чтобы никакие две одинаковые буквы не были написаны рядом (не были соседними).
Ответ
Ответ. Каждое из чисел , , не больше суммы двух других.
Решение. ) Необходимость условия. По условию, между каждыми двумя ближайшими буквами на круге должна быть хотя бы одна из букв или . Поэтому суммарное количество букв и не меньше, чем количество букв . Аналогично с остальными буквами.
) Достаточность условия. Пусть каждое из чисел , , не больше суммы двух других. Можно считать , тогда условие эквивалентно единственному неравенству . Запишем сначала по кругу все букв , затем, начиная с некоторой «первой», будем, двигаясь по часовой стрелке, вставлять между буквами по одной букве , пока они не кончатся. Ввиду того, что букв не больше, чем букв , они закончатся не позже, чем перед первой буквой , и соседних букв не появится. Между каждыми ближайшими буквами будет стоять буква . После окончания букв продолжим тот же процесс с буквами , которые будем писать сразу после очередной или сочетания , если мы уже прошли полный оборот и достигли места, следующего за первой вставленной . Ввиду того, что , в сумме букв и хватит, чтобы вставить их между всеми буквами , пройдя не меньше, чем полный оборот. С другой стороны, букв не больше, чем букв , они закончатся не позже, чем перед последней буквой , и соседних букв тоже не появится. Скажем, если каждой буквы будет поровну, по кругу будет раз записано сочетание из трёх букв .