ВсОШ 2022, 11 класс, задача 3
( баллов) На плоскости фиксирован остроугольный треугольник с наибольшей стороной . Пусть — произвольный диаметр его описанной окружности, причём точка лежит на меньшей дуге , а точка — на меньшей дуге . Точки , и — основания перпендикуляров, опущенных из точки на прямую , из точки на прямую и из точки на прямую . Докажите, что центр описанной окружности треугольника лежит на фиксированной окружности (не зависящей от выбора точек и ).
(И. Кухарчук, М. Дидин)
Ответ
Решение.
Заметим, что , так как — диаметр окружности . Пусть и — середины отрезков и соответственно. Так как , то четырёхугольник вписан в окружность с центром в точке , откуда . Следовательно, . Тогда, в силу сказанного выше, серединный перпендикуляр к отрезку проходит через точку и параллелен прямой , а потому на нём лежит и середина отрезка , обозначим её через . Аналогично, если — середина отрезка , то — серединный перпендикуляр к отрезку . Таким образом, прямые и пересекаются в центре окружности , обозначим его через . Тогда . Следовательно, точка лежит на фиксированной окружности, проходящей через точки и , что и требовалось.