ВсОШ 2022, муниципальный этап, 7 класс, задача 8
( баллов) В шахматном турнире участвовали шахматистов, каждый сыграл с каждым ровно один раз. За победу давалось очко, за ничью — , а за поражение — . У какого наибольшего числа шахматистов по окончании турнира могло оказаться ровно очков?
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть — количество шахматистов с очками.
Предположим, . В каждой игре между двумя играющими шахматистами разыгрывается очко, поэтому сумма очков всех шахматистов, набравших очков, по окончании турнира не меньше . Тогда по принципу Дирихле среди них найдётся тот, у которого очков не меньше , противоречие. Значит, .
Покажем, что значение возможно. Разделим шахматистов на две группы: в первой человек, а во второй . Пусть в каждой группе каждый человек сыграл с каждым вничью, а также каждый человек из первой группы проиграл каждому человеку из второй группы. Легко видеть, что очков набрали в точности все шахматисты в первой группе, и их .